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Il prato con una sola radice

24 ottobre 2011

Il problema Il prato triangolare è carino e non troppo difficile. Per chi si fosse annoiato propongo una variante un pochino più elaborata. Lo spunto nasce dal fatto che il problema originario non è elegantissimo, avendo infatti una risposta con più radici quadrate…

Vediamo se si può ritoccare. Per prima cosa possiamo cambiare a piacimento la lunghezza dei lati, con la restrizione che il triangolo risultante sia rettangolo. Per seconda cosa possiamo anche cambiare la lunghezza della massima distanza percorribile su erba, che nell’altro problema era 20m. Abbiamo quindi 4 variabili: possiamo sceglierle in modo tale che la soluzione  possa essere scritta con una sola radice quadrata?

Vogliamo aggiungere molti più numeri interi alla soluzione di questo problema.

Per intenderci, sto chiedendo se sia possibile. Quindi, il problema si risolve o trovando almeno una quadrupla di lunghezze intere che portano ad una soluzione con un’unica radice, o dimostrando che ciò è impossibile.

Ricorda che il percorso deve essere minimo. È questo il motivo per cui almeno una radice ci sarà sempre: quella radice di due ottenuta tagliando l’angolo retto.

Il prato con una sola radice


Un esagono è iscritto in un triangolo rettangolo a, b, c. Tre suoi lati (il primo, il terzo e il quinto) sono lunghi al massimo k, gli altri tre appartengono ciascuno ad uno dei tre lati del triangolo. Si possono scegliere a, b, c, k interi in modo tale che il minimo perimetro dell’esagono si possa scrivere usando solo \sqrt{2}?

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