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Con le mele e con le pere

26 ottobre 2011

Marta va al mercato e compra della frutta. Due grosse mele rosse e due altrettanto grosse pere gialle.

“Quanti frutti in tutto?”, mi chiede con aria beffarda. So benissimo che non è questo il problema, e che la ragazza ha ben altro in mente. Ed ecco infatti che mi propone un rompicapo forse difficile da spiegare, ma semplice da capire. E da risolvere? Dipende…

Immaginiamo che i quattro frutti siano, sostanzialmente, delle sfere perfette di identica dimensione, e che possiamo disporre a tetraedro. In pratica ogni frutto tocca gli altri tre.

Un tetraedro appoggiato sul tavolo e visto dall'alto: la pera alla sommità si distende verso il lato a sinistra. La pera in alto si distende verso il lato a destra.

Ma una sfera perfetta è una povera approssimazione di una pera. Pensiamo allora che, oltre alla sfera principale, ci sia una seconda sfera più piccola. Un po’ come per un uomo di neve.

Rendiamo la nostra struttura piramidale più compatta possibile, facendo ruotare le pere in modo che le due sfere più piccole siano in contatto con altri due frutti. Per chiarezza, ogni pera può distendersi sopra una di tre facce triangolari, e le due pere si distendono su facce diverse.

Il problema è dunque solo di visualizzazione: in quanti modi sostanzialmente diversi possiamo disporre i frutti? Eliminiamo soluzioni ottenibili da altre per rotazioni e ribaltamenti.

Con le mele e con le pere


Coloro i quattro vertici di un tetraedro, due di rosso e due di giallo. Coloro inoltre di giallo due facce. In quanti modi si può fare, non contando rotazioni e ribaltamenti?

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