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Bruxelles 2011 (4) – Piastrellatura con domini

8 novembre 2011

La nostra concezione di vacanza è quella di trasformarci tutti in camminanti, nel vero senso della parola camminare, e speditamente anche, tutto il giorno, tutti i giorni, di trasformarci in turisti propriamente detti, cercando di sfruttare al massimo i nostri tour per vedere più cose possibili, quasi sempre testardamente a piedi, a darci il cambio su chi deve lamentarsi per la stanchezza e chi deve incitare a raggiungere la prossima meta.

Capitano per fortuna anche i rari momenti in cui siamo tutti e quattro stremati. Ed allora ci sediamo da qualche parte fissando il vuoto. O il pavimento.

“Mi piace questa piastrellatura”, mento io. “Ogni piastrellina quadrata 4×4 unità è ripartita in 8 domini sempre allo stesso modo, ma solo uno dei domini, a caso, è bianco. E i domini bianchi non condividono mai un lato.”

“Carino”, mente anche Marta. “Eccoti allora una problemino che potrebbe piacerti.”

“Dai, vedrò di farmelo piacere”, sdrammatizzo io. Quando Marta mi propone un quesito provo sempre una certa apprensione.

“Come hai giustamente notato, la disposizione dei domini bianchi è casuale. Un’altra semplice osservazione è che le piastrelle sono disposte su righe sfasate di mezza piastrella. Inoltre, una riga sì e una no, le piastrelle vengono ribaltate orizzontalmente. È per questo motivo che ci sono zone grandi come intere piastrelle completamente nere.”

“Le vedo”, ammisi.

“Ecco il problema allora. Scegli una delle quattro strisce orizzontali in cui è suddivisa ogni piastrella. Non fa differenza, ma è una scelta che devi fare a monte e non cambiare più. Immagina ora una sequenza infinita di piastrelle, che può iniziare per esempio con le tre in seconda riga nel disegno. Seguendo la striscia scelta, inizi a percorrere piastrelle una dopo l’altra. I domini bianchi però interrompono la tua marcia, e la piastrella che li contiene non viene contata. In media, quante piastrelle conti?”

Marta ha dato l’OK su questi due esempi. Supponiamo di aver scelto la seconda striscia, quella indicata dalla freccia blu. Se la sequenza iniziasse effettivamente come la seconda riga del disegno, potremmo contare due piastrelle: nella terza veniamo bloccati dal domino bianco e perciò non la contiamo. A parità di sequenza, la freccia rossa ci avrebbe invece fatto contare una piastrella sola, perché già nella seconda c’è un domino bianco che ci blocca.

Piastrellatura con domini


Un quadrato 4\times 4 è tassellato da otto domini: due orizzontali a sinistra e due verticali a destra nella metà superiore, viceversa nella metà inferiore. Si forma una sequenza infinita di quadrati adiacenti in orizzontale, in modo che in ognuno ci sia solo un domino bianco in posizione casuale, e che due domini bianchi non abbiano mai un segmento in comune. Quanti quadrati in media, partendo dal primo, non hanno il bianco nella prima riga?

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