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La corsa sul tavolo

5 marzo 2012

Un improvviso singhiozzo fa rimpicciolire Chiara, che diventa poco più alta del tappo della bottiglietta d’acqua appoggiato sul tavolo. Ci sale sopra per osservare meglio il panorama e per fare il punto della situazione. Lo stupore è troppo per porsi domande.

Il paesaggio che ha di fronte, il famigliare tavolo della cucina con la tovaglia a quadretti il cui confine si perde in un nuovo orizzonte, ha assunto un’atmosfera aliena. I pochi oggetti diventano mostruosi, e se le gigantesche dimensioni di un lontano bicchiere sono ridimensionate, l’effetto della bottiglia d’acqua che ha di fianco, dal collo ora troppo alto per essere visto, ha dello sbalorditivo.

Con un balzo, Chiara atterra sulla tovaglia e inizia a correre, affascinata dal cambio di prospettiva offerto dal movimento uniforme. Costeggia un cucchiaino per tutta la sua lunghezza, e infine raggiunge un avvallamento della tovaglia che crea una barriera insormontabile per la sua nuova statura.

Stanca dalla corsa, si accomoda contro questa parete per contemplare ciò che le sta attorno, e le sembra di rimpicciolire ancora. La sua mente ha il tempo di abituarsi al minuscolo, e si rende conto che le cose non le riconosce più, ma se le ricorda soltanto: davvero quel masso alto come lei sarebbe una briciola di pane? Eppure la ragazza sa che è così, anche se questa coscienza sembra fuori posto.

Adesso il suo sguardo si posa al suolo, dove i fili intrecciati della tovaglia formano una sconfinata scacchiera. Quello che prima era un omogeneo quadrato di tessuto rosso, è diventato per Chiara una piazza che misura 32 passi per 32 passi, esattamente uno per filo di trama e per filo di ordito.

Chiara percorre un filo a caso, che incrocia altri 32 fili rossi passando sopra uno e sotto al successivo. Entra poi in una seconda “piazza”, originariamente un quadrato rosato, dove il filo che sta seguendo ne incrocia 32 bianchi. Non ci mette troppo ad accorgersi della regola: i fili orizzontali si dividono in gruppi di 32 di colori rosso, bianco, giallo e azzurrino, per poi ripetersi. Lo stesso vale anche per i fili verticali.

La ragazza procede adesso casualmente, in modo generico un po’ avanti e un po’ verso destra. Quanti incroci di 4 fili può incontrare, diversi per colore?

La corsa sul tavolo


Il colore della generica riga o colonna k è r_k = c_k = \mbox{mod} (\mbox{div}(k, 32), 4), dove \mbox{mod}(\cdot, 4) è il resto della divisione per 4 e \mbox{div}(\cdot, 32) è il quoziente della divisione per 32. Il quadrato unitario centrato in (i, j) è colorato come r_i se i+j è pari, come c_j se è dispari. Quante matrici 2 \times 2 diverse ci sono?

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