Skip to content

Da un cerchio di carta ad un tetraedro

2 maggio 2012

Il protagonista di un problema presente in questo sito è un foglio di carta rotondo. In un modo o nell’altro si era giunti a domandarsi quali possibilità offrisse una volta piegato, stravolgendo la tradizione degli origami che parte sempre da un foglio quadrato. Per coincidenza mi sono imbattuto nella stessa questione in una recente lettura, così che ho deciso di prenderne nota.

Il volumetto “I solidi. Riscopriamo la geometria” (di Gianfranco Arrigo e Silvia Sbaragli, edizioni Carocci) tratta della didattica della matematica fino alle scuole superiori. La tesi degli autori, in estrema sintesi, è che sarebbe da preferire un insegnamento che partisse dallo studio di figure tridimensionali, come i cubi e le sfere, per poi ricadere sulla geometria piana, con quadrati e cerchi. In questo modo, opposto all’iter corrente, sostengono che l’astrazione matematica sarebbe supportata inizialmente da modelli concreti.

Una delle attività proposte nel libro, aldilà del legame con la tesi principale, è per l’appunto la piegatura di un foglio di carta rotondo per ottenerne prima un triangolo equilatero, e poi un tetraedro. Il procedimento è molto semplice, e cercherò di riportare qui le istruzioni del libro. A seguire, proverò a convincermi che il triangolo ottenuto sia veramente equilatero, aggiungendo anche considerazioni sull’individuazione del centro e un problemino di geometria.

Per cominciare procuriamoci un cerchio di carta e supponiamo di aver individuato il suo centro. Ma, ed è proprio il caso di dirlo, questo punto verrà ripreso più avanti. La prima piega fa coincidere un punto qualsiasi sulla circonferenza con il centro del cerchio. Si individuano in questo modo due punti sulla circonferenza e una corda che li unisce.

La seconda piega è identica alla prima, portando anch’essa un punto sulla circonferenza a coincidere col centro. Questa seconda piega ha però il vincolo che la nuova corda individuata abbia un estremo in comune con la prima corda.

La terza piega, è appena il caso di dirlo, completa il triangolo equilatero, sovrapponendo un terzo punto della circonferenza con il centro del cerchio. Il vincolo è che la nuova corda abbia i due estremi in comune con le altre due corde.

L’esempio del libro, fedele con la sua filosofia, abbandona poi il piano per ottenere un tetraedro regolare, cosa immediata dividendo il triangolo in 4 triangoli equilateri (le tre pieghe si formano unendo un vertice con il punto medio del lato opposto). Non male!

Facciamo adesso un passo indietro e torniamo al cerchio di carta. Seguendo il procedimento descritto ricaviamo per piegatura il triangolo equilatero inscritto al cerchio. Ma è chiaramente così? O meglio, le tre pieghe individuano tre corde del cerchio, che per simmetria sono lunghe uguali. Inoltre le corde, per costruzione, formano una spezzata, che sembra chiudersi nel terzo vertice del triangolo. Come possiamo escludere di trovarci di fronte ad una approssimazione?

Consideriamo una piega sola, visto che le altre si ripetono. Nella piega facciamo corrispondere un punto sulla circonferenza P, con il centro del cerchio. I punti che fanno parte della piega sono tutti equidistanti dal centro e da P. Questo fatto è evidente quando il foglio di carta è piegato e P è sovrapposto al centro.

La piega individua due punti sulla circonferenza. Ne uniamo uno con P tramite un segmento blu. Per quanto appena detto, il segmento blu è lungo quanto il segmento che unisce lo stesso punto sulla circonferenza con il centro, ossia è lungo quanto il raggio. Il raggio è anche la distanza di P dal centro, e ne concludiamo che il triangolo con vertice il centro del cerchio e con lato opposto il segmento blu è in effetti un triangolo equilatero. Ripetendo il ragionamento si trova l’esagono regolare inscritto al cerchio o, prendendo come abbiamo fatto solo un punto ogni due, il triangolo equilatero. QBC (Questo Basta a Convincermi).

Facciamo ancora un passo indietro, e precisamente alla localizzazione del centro del cerchio.  Dato un foglio di carta rotondo, come trovarne il centro? Visto che il problema è fin troppo facile, diamo qua qualche possibilità.

  1. (soluzione proposta dagli autori del libro) Si piega a metà il foglio rotondo ottenendo un diametro. Si riapre e si piega a metà in un altro modo. I due diametri si incontrano nel centro del foglio.
  2. (caso particolare) Si piega a metà il foglio, e poi a metà il semicerchio.
  3. (con una squadra) Si fa combaciare l’angolo retto di una squadra con la circonferenza. I due cateti della squadra intersecheranno la circonferenza in altri due punti. Abbiamo quindi un triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza, il che ci assicura che gli ultimi due punti sono in effetti diametralmente opposti. Ripetiamo per trovare un secondo diametro.
  4. (con riga e compasso) Fissiamo tre punti A, B e C sulla circonferenza. Col compasso tracciamo un cerchio di raggio AB con centro in A, ed uno uguale con centro in B. Tracciamo la retta che passa per le intersezioni dei due cerchi per avere l’asse del segmento AB. Analogamente si costruisce l’asse del segmento BC. Le due rette si incontrano nel centro.
  5. (pensiero laterale) Non ho mai visto dei fogli rotondi prodotti industrialmente, e se esistono sono sicuramente ben difficili da trovare. La cosa più verosimile è che il foglio rotondo ce lo siamo costruiti noi usando un compasso e ritagliando. In questo caso il centro si individua in controluce, guardando dove il foglio è bucato.

Qualsiasi apporto a questa lista è gradito.

Per concludere, ecco il problemino. Abbiamo costruito un triangolo equilatero con la carta. Il foglio di carta si sovrappone sempre due o tre volte per formare la figura. L’area della regione del triangolo dove la carta si sovrappone solo due volte sembra essere maggiore di quella dove la carta si sovrappone tre volte. L’area con due strati è maggiore o minore del doppio dell’area con tre strati?

Da un cerchio di carta ad un tetraedro


Si disegnano tre cerchi, passanti per il centro e per le tre coppie di vertici di un triangolo equilatero. L’unione delle intersezioni tra le coppie di cerchi è maggiore o minore di un terzo dell’area del triangolo?

Annunci
3 commenti leave one →
  1. Umberto De Palma permalink
    2 maggio 2013 1:52 am

    complimenti per il blog e per l’articolo in particolare. Ora ha più senso anche questo: http://www.eclisseforum.it/forum/filosofico/antroposofia-3d-o-filosofia-psicologia-e-teologia-in-tetraedro-(video-personale)/ una piccola applicazione.

    • 3 maggio 2013 12:26 am

      Ti ringrazio per i complimenti. Ho riletto volentieri il mio articolo pubblicato esattamente un anno fa (!), e devo dire che me li merito :-).
      Ho guardato un pezzo del tuo video e, sinceramente e senza offesa, il primo impatto mi ha preoccupato: temevo tematiche occulte o robe strane. Il passamontagna non ha certo aiutato! Poi, se ho bene inteso, ti occupi in buona fede di filosofia, e allora lascio il link anche se non ho l’inclinazione di seguire il discorso per completo.
      Però in effetti l’origami che parte dal cerchio, per passare al triangolo e poi al tetraedro calza alla perfezione con la tua esposizione dell’uomo (cerchio) il cui essere ruota attorno alle tre componenti corpo/mente/anima (punto in coordinate baricentriche del triangolo), le quali poi si ripiegano nello spazio 3D (tetraedro). Impressionante…

      • Umberto De Palma permalink
        3 maggio 2013 5:19 am

        Grandissimo, E’ quello che ho pensato anch’io, Intanto mi permetto di conservare il tuo articolo, grazie.

        Ci sono anche progetti di I.A. che stanno seguendo questo tipo di approccio, non si tratta solo di filosofia come pura metafisica ma proprio di una ontologia formale applicabile e desumibile da diversi livelli d’accesso del reale secondo interfacce psicologiche piuttosto che linguistiche, informatiche etc.
        Se ti interessa dare un’occhiata al volo, alla sesta pagina del topic che ho linkato sopra, ho inserito, a stimolo d’approfondimento, anche riferimenti circa le reti neurali e il simbolo 6j (tetraedro) come mattone dei futuri sistemi informatico-quantistici.

        PS. cmq è un sottocasco. Purtroppo la telecamera non rende il suo pregio e la gente confondendolo giustamente con un passamontagna ne rimane un pò così… scherzo, è tutto marketing, vedrai che ora ti ricorderai di me per sempre
        lol

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: