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Archi a sesto acuto

11 giugno 2012

Uno dei progettini semplici semplici di Marta per questa estate è la riproduzione in disegno tecnico prospettico delle principali cattedrali europee…! In questo caso il proverbio più calzante, anche abbastanza in tema, è quello sulle buone intenzioni adibite a pavimentazione.

Visto che da qualche parte bisogna pur partire, facciamo che sia dalla cattedrale di Notre-Dame della capitale francese. La città è da specificare perché in Francia, di Notre-Dame, pare se ne trovino parecchie. La cattedrale gotica in questione ha ben cinque navate, ma per semplificare un po’ concentriamoci solo su quella centrale, la più grande. Questa navata ha tre piani, l’ultimo dei quali si chiama claristorio perché pieno di vetrate che fanno entrare la luce esterna. A questo piano ci sono archi a sesto acuto che sono racchiusi, insieme a rosoni rotondi, dentro altri archi a sesto acuto più grandi, dai quali poi partono le volte. Risulta presto chiaro che un requisito fondamentale è quello di saper disegnare archi a sesto acuto, e prima che in prospettiva, almeno visti frontalmente.

Il disegno, puristicamente tracciato con soli riga e compasso, non presenta grosse difficoltà. Disegnare l’arco a sesto acuto è alla base della costruzione del triangolo equilatero, ed è il più semplice disegno possibile: si tracciano due pezzi di cerchio con apertura pari alla distanza tra le colonne, centrando di volta in volta sui due capitelli.

Disegnare un arco a tutto sesto che ne comprenda due affiancati è altrettanto facile, essendo sufficiente ripetere la costruzione in modo identico usando ora come apertura del compasso il doppio della distanza tra due colonne e come centri le due colonne esterne.

Adesso viene la parte leggermente più complicata: disegnare il rosone, ossia un cerchio tangente ai due archi piccoli e all’arco grande. Questo cerchio deve essere tangente internamente alla metà di destra dell’arco grande ed esternamente alla metà di destra dell’arco piccolo di sinistra. Entrambe le metà di arco sono pezzi di cerchio. Il centro del rosone sarà a metà strada tra i due, ed è possibile disegnarlo come intersezione di due cerchi: i centri sono gli stessi di quelli dell’arco grande, e i raggi sono \frac{3}{2} della distanza tra le colonne.

Trovato il centro, è ora facile completare il disegno. Uniamo con una retta questo punto ad una delle colonne esterne, e individuiamo l’intersezione della retta con l’arco interno.

La distanza tra centro e intersezione è il raggio del rosone, ed è possibile quindi completare il disegno.

Voilà! Bello come il sole! Che poi nella realtà gotica abbiano veramente usato queste proporzioni è un altro discorso.

Ma proviamo ora a calcolarle, queste proporzioni. Fissiamo come unità di misura la distanza tra le colonne, di modo che il rosone abbia raggio \frac{1}{2}. Per simmetriche ragioni di costruzione, il centro del rosone si trova sulla stessa retta che contiene anche la colonna centrale. Chiamiamo h la distanza da tale colonna, ossia l’altezza del centro del rosone.

Uniamo il centro del rosone ad una colonna laterale, ottenendo un triangolo rettangolo del quale conosciamo l’ipotenusa, che è 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}, e la base, che è 1. L’altezza, h, si ricava con il teorema di Pitagora: h^2 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}, da cui h = \frac{\sqrt{5}}{2} = \varphi - \frac{1}{2}, dove \varphi è il rapporto aureo, che spunta sempre fuori come il prezzemolo.

Da questo calcolo notiamo che la distanza tra la colonna centrale e la cima del rosone è il numero d’oro \varphi. Non solo, ma abbiamo anche mostrato come disegnare questo segmento con riga e compasso. Il rapporto aureo è quello che c’è anche tra la diagonale e il lato di un pentagono regolare, quindi adesso lo sforzo per disegnare un pentagono con riga e compasso è minimo, e la tentazione troppo forte. Abbiamo individuato una diagonale: riportando col compasso la distanza tra le colonne per individuare anche i primi due lati.

Riportiamo ancora due volte la diagonale e i lati.

E finalmente completiamo un pentagono regolare con riga e compasso.

Certo, abbiamo un po’ perso di vista il progetto delle cattedrali, ma non ci facevo troppo affidamento.

Il rosone che abbiamo disegnato ha raggio che è \frac{1}{2} della distanza tra le colonne. Il rosone del claristorio di Notre-Dame, a occhio, sembra molto più grande, anche se è difficile dire con precisione di quanto.

L’arco grande, quello che rinchiude i due piccoli, ha i due centri sulle due colonne laterali. Se aggiungiamo un’altra coppia di colonne, equidistanti, e le usiamo come centri per cerchi di raggio 3, otteniamo un arco a sesto acuto più grande. Anche le dimensioni e la posizione de rosone cambiano. Aggiungendo un’ulteriore coppia, il raggio sarà di 4 e così via.

Quante coppie di colonne ci saranno, a destra e a sinistra di quella centrale, per un rosone avente raggio pari a \frac{3}{4}?

Archi a sesto acuto


Siano dati due cerchi di raggio unitario centrati in (1, 0) e (-1, 0), e due cerchi di raggio k centrati in (-(k-1), 0) e ((k-1), 0), con k intero positivo. Quanto vale k se un cerchio tangente ai quattro cerchi ha raggio \frac{3}{4}?

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