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Pentagono approssimato

25 giugno 2012

I due cactus di casa si chiamavano Vincent e Wilfred, e li abbiamo ereditati dai cinesi che affittavano l’appartamento prima che tornassimo da Londra. Uso il passato perché, tristemente, Vincent non è più tra noi.

Chiara, che non nutre troppa simpatia per le piantine, ha subito sottolineato il concetto trasferendo i due vasetti in balcone: sempre sul davanzale della finestra ma dalla parte esterna del vetro. Così, da inizio gennaio, i due vegetali affrontavano insieme gli elementi.

Quasi a bilanciare la freddezza di Chiara, Lorella li ha invece accuditi con entusiasmo, ma forse con più buona volontà che con pollice verde. Teneva acqua del rubinetto in una bottiglietta da 500ml, su cui aveva scritto “Acqua per cactus buoni”, e una volta alla settimana ne usava metà contenuto per inondare il terriccio. Troppa acqua, stagna, una lunga malattia, soffocante amore materno, vento. Insomma, un giorno abbiamo trovato il povero Vincent suicidato sul pavimento.

La triste storia termina con una nota positiva, perché Marta ha preso in mano la situazione e ha deciso di occuparsi di Wilfred, portandogli anche un nuovo amichetto, Anacleto, un bel cactus a sezione pentagonale, per fargli compagnia.

A cosa pensa un cactus tutto il giorno, vedendo le automobili passare, il sole sorgere e tramontare? Forse a questo problema. Immaginiamo di pescare su una circonferenza 5 punti in modo casuale uniforme. E’ impossibile che questi punti formino un pentagono regolare perché stiamo ragionando nel continuo, e la probabilità di ottenere un punto specifico è nulla.

Ma noi ci accontentiamo anche di una approssimazione, non siamo così pignoli. Ad ogni punto lasciamo un margine di errore, misurato come un ventesimo di circonferenza. In pratica, per noi il pentagono è passabilmente regolare se per ottenere un pentagono regolare perfetto è sufficiente spostare lungo la circonferenza qualcuno o tutti e cinque i punti, in senso orario o antiorario, per non più di un ventesimo della misura totale della circonferenza. L’errore lo misuriamo come arco circolare proprio perché i punti non abbandonano la circonferenza. E visto che non ci stiamo formalizzando, accettiamo anche pentagoni “capovolti” e, in generale, ruotati in qualsiasi modo.

Se Anacleto domani pensasse a questo problema, e se fosse abbastanza intelligente per risolverlo, quanto valuterebbe la probabilità di formare un pentagono approssimato estraendo cinque punti a caso?

Pentagono approssimato


Un pentagono si dice approssimato se si può ottenere da un pentagono regolare inscritto in un cerchio spostando indipendentemente i suoi vertici lungo la circonferenza per non più di \frac{1}{20} di quest’ultima. Qual è la probabilità di ottenere un pentagono approssimato estraendo uniformemente 5 punti sulla circonferenza?

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