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Cinque commissioni con quattro esaminatori

2 luglio 2012

Per iscriversi all’albo professionale degli attuari, in Italia, occorre superare un esame di stato che si articola in diverse prove. Il programma dell’esame, dal 2012, prevede nuovi argomenti tra i quali un certo “funzionale di Feynman-Kac”, elencato nella sezione “Moto Browniano”. Ora, è concepibile che un attuario possa aver sentito nominare il fisico Feynman, più che altro come cultura personale, ma trovo inverosimile una sua eventuale conoscenza di Kac. Ma forse il mio è solo un bias cognitivo. Ad ogni modo ho percepito un crescente interesse indirizzato verso questo funzionale, sentendolo sempre più frequentemente tirato in ballo nelle conversazioni di tutti i giorni, a casa, al bar, in stazione, tanto che quasi mi coglie una spontanea ritrosia nello scrivere l’impressione, trita e ritrita, di un funzionale estremamente popolare.

Un giorno qualcuno dovrà dirmi cos’è, questo benedetto funzionale.

Senza collegamento, ho da poco preso in biblioteca il libro “Gli enigmi del caso”, l’autobiografia di un matematico di nome Mark Kac. Nato in Polonia, è riuscito a scampare allo sterminio degli ebrei andando fortuitamente a lavorare negli Stati Uniti. Un libro certamente istruttivo. Vi scrive anche che, di tutta la sua carriera, la cosa che forse l’ha reso più celebre è stata quella di essere il “Kac” nella formula di Feynman-Kac. E allora una qualche parte del mio cervello ha fatto click.

Kac, che si pronuncia con la “z” finale e non con la “c”, scrive anche di aver lavorato un periodo come attuario, esperienza che purtroppo per lui ha trovato “estremamente noiosa”. Sicuramente però non sarà stato un attuario professionista, e non sarà stato iscritto a nessun albo. Ed ancora più sicuro (e qui un’altra parte del mio cervello ha fatto clack, il suono tipico di chiusura del cerchio), che nessun esaminatore, ad un certo punto, gli avrà mai domandato qualcosa del tipo “mi parli un po’ del funzionale, quello suo e di Feynman”…

Ridicolo a parte, quando studiava all’università di Leopoli, Kac ha però dovuto sostenere un certo numero di esami per i corsi che seguiva in un determinato anno. Ha dovuto scontrarsi con l’antisemitismo, avendo però dalla sua un professore benevolo, un certo Zylinski.

Scrive Kac: “Gli studenti venivano assegnati a caso a quattro professori, in modo da assicurare a questi un’equa distribuzione delle indennità per le prove d’esame”. Cosa abbastanza assurda: se il professore insegnava in un altro corso, era lecito pensare che non ne sapesse nulla dell’esame per il quale faceva da esaminatore.

Scrive ancora Kac: “E’ curioso che in quattro esami su cinque mi toccasse come esaminatore Zylinski. La probabilità a priori di un tale evento è poco meno dell’1.5 per cento, bassa quanto basta per far alzare le “sopracciglia statistiche” di chiunque”.

Quel poco meno dell’1.5 su cento potrebbe essere, per esempio, \frac{3\cdot 5}{4^5}, che in effetti è 1.46 centesimi. In questo caso, quale sarebbe il numero totale dei professori, Zylinski compreso, possibili esaminatori?

Cinque commissioni


Da un insieme di n elementi vengono estratti 5 campioni di 4 elementi, con riammissione tra un campione e l’altro. La probabilità che esattamente un campione non contenga l’elemento 1 è \frac{3\cdot 5}{4^5}. Quanto vale n?

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