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Numero medio di lanci di un dado a 6 facce

6 agosto 2012

Il dado è piccolo, liscio, con i pallini neri, smussato, duro, cubico, freddo, leggero, anelastico, opaco, silenzioso, misterioso, spavaldo, immobile, elegante, economico, vecchiotto, scomodo, vissuto, bianco, inodore, pratico, attento, amarognolo, preciso, tratto.

Il dado, quando non viene sbatacchiato contro la scrivania per vedere come cade, per la maggior parte del suo tempo, o almeno così è quando lo guardo e così deduco sarà quando non lo guardo, fa una cosa sola: giace. Lo sto guardando in questo istante e giace. Potrei facilmente allungare la mano, afferrarlo e lasciarlo cadere, così come potrebbe lui facilmente mostrare sei pallini ordinati in due terzine allineate. Così come io sono libero di non lanciarlo, lui è libero di far uscire quattro.

Allungo la mano, lo afferro, lo lancio.

Sei.

Tuttavia noi in generale facciamo scelte di comodo, come persino quella di pensare che un lancio del dado mostri, con uguale probabilità, ciascuna delle sei facce e che il lanciatore sia portatore sano di libero arbitrio. Con queste premesse, lanciando ripetutamente il dado, prima o poi necessariamente spunterà fuori un sei, anche se non sempre al primo lancio.

Quante volte, in media, bisognerà tirare il dado per ottenere per la prima vota un 6? Il primo 6 può uscire al generico lancio i se per gli i-1 primi lanci è sempre uscito qualcos’altro, il che ha probabilità \left( \frac{5}{6} \right)^{i-1}, e poi nel nostro i-esimo lancio esce proprio 6, il che ha probabilità \frac{1}{6}. Il numero medio di lanci si potrebbe allora calcolare come

\mu = \sum_{i=1}^{\infty} i \left( \frac{5}{6} \right)^{i-1} \frac{1}{6}.

Per cominciare bisognerebbe dimostrare che la serie converge, e poi andrebbe calcolata la sua somma. Operazioni forse un po’ trite e noiosette.

Una alternativa comune e simpatica per calcolare \mu è di ragionare per ricorrenza. L’insieme dei possibili esiti può infatti essere partizionato in due insiemi disgiunti, dove \mu risulterà la media, pesata, delle medie dei due casi. Il primo caso, che si verifica con probabilità \frac{1}{6}, è il lancio di un 6 al primo tentativo, e dunque con un solo lancio la media è 1. Il secondo caso, che si verifica con probabilità \frac{5}{6}, è che il lancio del dado mostri come esito un numero diverso da 6. Allora il gioco continua invariato ma con un lancio in più andato a vuoto e inesorabilmente conteggiato. Dunque

\mu = \frac{1}{6}\cdot 1 + \frac{5}{6}\cdot (\mu + 1).

Questo calcolo si risolve a mente (\mu = 6) e siccome il risultato è un numero finito, abbiamo anche dimostrato in modo indiretto che la serie di cui sopra in effetti converge.

Ci stiamo prendendo gusto, quindi continuiamo il gioco: quante volte, in media, bisognerà tirare il dado per ottenere per la prima volta due 6 consecutivi? Ci buttiamo subito sul ragionamento per ricorrenza. Se esce il primo 6, con probabilità \frac{1}{6} ne esce un secondo, ed il totale di lanci è stato 2, mentre con probabilità \frac{5}{6} abbiamo sprecato due lanci e dobbiamo ricominciare. Si perviene a

\mu = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{6} \cdot 2 + \frac{5}{6}  \cdot (\mu + 2) \right) + \frac{5}{6} \cdot (\mu + 1).

Non si farà forse a mente, ma è lineare in \mu ed il risultato è \mu = 42, numero che è sempre un piacere incontrare.

Siamo lanciati: la media del numero di lanci necessari per tre 6 consecutivi è il numero \mu che soddisfa alla relazione

\mu = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{6} \left( \frac{1}{6} \cdot 3  + \frac{5}{6} \cdot (\mu + 3) \right) + \frac{5}{6} \cdot (\mu + 2) \right) \frac{5}{6} \cdot (\mu + 1).

Bastano un pugnetto di calcoletti per trovare \mu = 258.

Prima di darci ai bagordi della generalizzazione, ragioniamo su questi numeri. Abbiamo trovato, per esempio, che lanciando un dado fino a che non esca 6 per due volte consecutive, ci servono in media 42 lanci. Questo numero può sembrare ragionevole, argomentando senza convinzione che porta in media a sette volte 6, che potrebbe essere un numero non troppo piccolo né troppo grande per presentare, in media, due 6 di fila. Ma in realtà è un risultato sorprendente: un numero di lanci è, certamente, un intero, ma non è detto che lo sia un numero medio di lanci. Debitamente sorpresi, torniamo al risultato generale.

Il numero medio \mu di lanci necessari per lanciare k volte 6 di fila è soluzione di

\mu = \underbrace{\frac{1}{6} \left( \frac{1}{6} \left( \ldots  \frac{1}{6} \cdot k \right.\right.}_{k \mbox{ volte}} +  \underbrace{\left.\left.\frac{5}{6}\cdot (\mu + k) \right) + \frac{5}{6} (\mu + k -  1) \right) + \ldots + \frac{5}{6}\cdot (\mu + 1)}_{k \mbox{ volte}}.

Per calcolare il valore di \mu si applica la proprietà distributiva che ci porta ad una somma geometrica, si moltiplica e si divide per 1 - \frac{1}{6}, magari anche due volte, si beve un bicchiere d’acqua e alla fine, con pazienza, attenzione e fortuna, si arriva a dire che

\mu = \frac{6}{5} (6^k - 1)

che vale, per i primi k,

6, 42, 258, 1554, 9330, \ldots

Saranno mica tutti interi? Sembrerebbe di sì, ma per esserne certi bisognerebbe dimostrare che, se k\geq 1, allora

6(6^k - 1) = 0 \pmod 5,

che è un modo per dire che il numeratore è un multiplo di 5 e si semplifica. Ad esempio, si potrebbe cominciare col vedere che 6 e 5 sono coprimi, quindi è il fattore 6^k - 1 che deve essere multiplo di 5. E poi si potrebbe per esempio procedere espandendo 6^k = (5-1)^k con la regola del binomio, per riscrivere esplicitamente il numeratore come multiplo di 5. Ma noi seguiremo, anche questa volta, una via traversa.

Cerchiamo nell’enciclopedia delle sequenze di interi a cosa corrisponde la sequenza 6, 24, 258, \ldots, assumendo così implicitamente che sia una sequenza proprio di interi. E troviamo una cosa curiosa: la sequenza che spunta fuori, la A105281, conta quanti numeri interi minori di 10, 100, 1000, \ldots si scrivono senza le cifre 0, 1, 2 e 3.

Per un attimo dimentichiamo i dadi e proviamo a contare quanti numeri, minori di 1000, usano solo le sei cifre da 4 a 9. Possiamo formare 6 numeri ad una cifra, ai quali aggiungiamo 6\cdot 6 numeri di due cifre e 6\cdot 6\cdot 6 numeri di tre, per un totale di 6 + 6^2 + 6^3 = 6+26+216 = 258 numeri. Torna!

In generale, questi numeri sono 6 + 6^2 + \ldots + 6^k che, moltiplicando e dividendo per 6-1, possiamo scrivere come

\frac{6^{k+1}-6}{6-1} = \frac{6(6^k-1)}{5},

che è proprio il numero medio di lanci per avere la prima sequenza di k volte 6. Il nostro numero medio di lanci corrisponde alla conta di un certo tipo di numeri, e pertanto deve necessariamente essere un numero intero. Ecco una dimostrazione che non ci aspettavamo.

La scoperta del legame tra lanci di 6 e numeri con al più 6 cifre meriterebbe qualche riflessione in più: perché le due cose condividono la stessa formula? Qualcuno ha qualche idea? L’utilità sociale di CLM si è limitata ad aggiornare l’enciclopedia evidenziando l’esistenza del legame.

Ritorniamo sui dadi per avviarci alla conclusione. La generalizzazione presentata può contentarci, ma non siamo ancora stanchi. Muoviamoci allora in un altro senso e introduciamo un secondo dado. Nel gioco del Monopoli, a lanciare un doppio qualsiasi per tre volte di fila si finisce in prigione. In quanti lanci, in media, ciò avviene?

Tutto il discorso fatto per un dado solo si concentrava sul numero 6, ma non c’è nulla di particolare in questo valore: è una convenzione, e l’unica cosa importante è fissarla prima degli esperimenti. La probabilità di ottenere un 6 è \frac{1}{6} e, per una fortunatissima coincidenza, corrisponde alla probabilità di ottenere un doppio qualsiasi.

Il tempo medio di attesa per eventi con la stessa probabilità è il medesimo, e ne concludiamo che in media con 258 lanci si presenta un doppio per tre volte di fila. In una partita a quattro a Monopoli, ogni sessantina di turni ci aspettiamo che qualcuno finisca in prigione per la regola del triplo doppio. Una tipica, esaltante, partita ha un numero di turni percepito che si aggira intorno al milione circa, fatevi voi i conti.

Va bene, questo calcolo è un riciclo di quello per un dado solo. E se ci concentrassimo sui doppi 6? Quanti lanci, in media, occorrono per una fila di k doppi 6 consecutivi?

Possiamo anche variare un po’: un lancio in cui esce un 6 singolo non viene contato. Si riprendono velocemente i dadi in mano come se niente fosse e si continua.

L’unica differenza rispetto a quanto visto fin qua… è che i conti dovete farli voi!

Numero medio di lanci di un dado a 6 facce


Qual è il numero medio di lanci di due dadi per ottenere k doppi 6, se i lanci contenenti solo un 6 non vengono contati?

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