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Quadrilatero di superficie costante

13 agosto 2012

Nel mezzo di un quadrato unitario… che incipit! Il punto P è libero di scorrazzare all’interno del nostro quadrato, e lo pensiamo in posizione generica. Proiettando P sui lati, determiniamo quattro nuovi punti.

Le proiezioni sono determinate da segmenti perpendicolari ai lati del quadrato. Tuttavia, può essere anche utile tenere a mente che, se sono perpendicolari ad una coppia di lati, questi segmenti sono però paralleli all’altra coppia. Sembra una banalità, ma tornerà utile.

Uniamo adesso le quattro proiezioni ed abbiamo un quadrilatero inscritto al quadrato, e completamente determinato dalla posizione di P.

Adesso, qualcosa di inaspettato. Costruiamo esternamente, sui lati del quadrilatero inscritto, quattro triangoli equilateri.
I triangoli avranno dimensione diversa, determinata di nuovo soltanto dalla posizione di P. Ciascun triangolo avrà, tra i vertici, anche un punto non ancora presente nella figura. Adesso, e sembra scontato, ci rimane l’ultimo passo: uniamo questi quattro nuovi vertici in modo da formare un secondo quadrilatero.
Il nostro quadrilatero è irregolare ed è difficile descriverlo. Ad esempio, non è neppure detto che ricopra completamente il quadrato di partenza. Né che sia convesso, come mostra l’esempio sotto in cui il punto P ha cambiato posizione.
Il quadrilatero può diventare anche un quadrato. Queste figure sono state prodotte in Eukleides, linguaggio di cui avevamo parlato in precedenza.
Ancora un disegno, prima di arrivare al nocciolo della questione.
Le domande ci vengono proposte direttamente dal Comitato CLM:

Chiara: “Qual è, al minimo, l’area del quadrilatero?”.

Lorella: “Qual è l’area del quadrilatero se il punto è P dista \frac{1}{e} dal lato in basso e \frac{1}{\pi} da quello a sinistra?”.

Marta: “Come si dimostra che l’area del quadrilatero non dipende da P?”.

Generalizzazioni! Dimostrare il problema nel caso del quadrato unitario porta, come conseguenza, a dimostrare il caso di un rettangolo generico. Ci sono almeno tre generalizzazioni che sono vere, perché facilmente osservabili tramite un programma dinamico di geometria euclidea, ma che non sono ancora riuscito a dimostrare. Chi vuole farsi avanti è il benvenuto.

  1. Se si prende un parallelogramma invece di un quadrato, si può “proiettare” il punto P come accennato nella banalità sopra. Ossia si trasla in punto parallelamente ad una coppia di lati fino ad incontrare gli altri due.
  2. Si può proiettare (nel senso generico di cui sopra, valido anche per il parallelogramma) il punto P sulle rette contenenti i lati. In questo caso il punto non deve necessariamente essere interno alla figura iniziale.
  3. Consideriamo un segmento che unisce le proiezioni. Su questo segmento abbiamo costruito un triangolo equilatero per determinare un vertice del quadrilatero. Questo vertice è sull’asse del segmento, ad una distanza proporzionale alla sua lunghezza. Nel caso base il fattore di proporzionalità è \rho = \frac{\sqrt{3}}{2}, ma può essere un valore generico. Tanto per fare un esempio, può anche essere \rho = -\frac{\sqrt{3}}{2}, ossia si possono costruire quattro triangoli equilateri interni.

Quadrilatero di superficie costante


Un punto P interno ad un quadrato viene proiettato sui lati. Le proiezioni, su coppie di lati consecutivi, vengono unite e usate come base per quattro triangoli equilateri con vertici esterni rispetto a P. Determinare l’area del quadrilatero che unisce i quattro vertici.

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