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Sextopus

20 agosto 2012

Stavo descrivendo a Lorella un mio modesto progetto, di immaginarsi quindi una tavoletta di legno, larga una decina di centimetri, che avrei tagliato in tre parti, tre chiodini qui, tre chiodini là, formo un ponticello…

Lorella è prevenuta, “dove vuoi andare a parare?”, e fatico ad illustrarle, a gesti, l’idea di metterci sopra e sotto i barattolini delle spezie per far ordine nella dispensa.

“Cioè, vuoi fare qualcosa di utile?”, ma non colgo la provocazione e continuo ad arricchire la spiegazione, che visto che tanto si deve andare a comprare il legno, già che ci sono posso comprare anche un listello a sezione quadrata per segarlo in cubetti, che possono sempre tornar comodi.

“Ecco, immaginavo, e per cosa?”, e non so spiegarle l’istinto primordiale di cubificare, represso da troppi anni, da quando avevo costruito un rudimentale cubo Soma incollando cubetti tra loro, ogni volta con una faccia in comune. Il risultato è nella media di una persona senza nessuna esperienza quotidiana con la falegnameria, ma la soddisfazione è molta.

Avevo anche prodotto un set di pentamini 3D, ognuno fatto da cinque cubetti. Si possono usare questi pentamini come quelli normali piatti, ma possono anche assemblarsi nello spazio, ad esempio per formare, incredibile coincidenza, una scatola 3x4x5.

I pentamini 3D sono solo un sottoinsieme dei pentacubi. Cinque cubetti si possono infatti aggregare in modo non complanare, ottenendo una figura che non è assimilabile ad alcun pentamino.

Prendiamo ora i tetradecacubi, quindi ben 14 cubetti incollati tra di loro. Quanti tetradecacubi diversi ci sono? Intanto se due tetradecacubi sono uguali per riflessione o rotazione dobbiamo contarne preferibilmente uno solo, ma una simile verifica, per un umano, è già un bel lavoro. E come la mettiamo con i buchi?  Quattordici cubetti sono sufficienti per circondarne completamente uno rendendolo inaccessibile: accettiamo questo caso come un tetradecacubo ben formato? Meglio lasciar perdere, troppa roba.

Però… proviamo a fare ordine. Costruiamo un cubo 2x2x2, che rappresenta il corpo, e un cubetto su ogni faccia, a rappresentare sei tentacolini. Battezziamo questi tetradecacubi “sextopus“, in analogia con gli octopus che di tentacoli ne hanno otto.

I sextopus sono più di uno e si differenziano tra loro per la posizione dei tentacolini, sempre e solo uno per faccia. La domanda è questa: si possono prendere un mucchio di sextopus del o dei tipi preferiti, e incastrarli in modo da circondarne completamente uno senza mai lasciare spazi liberi? E poi circondare completamente il gruppo formato e continuare a piacere ad ammassarli senza far buchi?

Se non è possibile, bisogna dimostrarlo! E se si può, bisogna far vedere come! Che ne dici Lorella? Ci sei ancora?!

Nel frattempo, non ho ancora nessun sextopus di legno, e non prevedo di farne. Però il “porta spezie” adesso è realtà!

Sextopus


Si può tassellare lo spazio con “sextopus”, tetradecacubi composti da un corpo di 2x2x2 al quale si aggiungono, in posizione arbitraria, un cubetto aggiuntivo per faccia? Dimostrarne l’impossibilità o mostrare una tassellatura di esempio.

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