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Dal test d’ingresso a Medicina

10 settembre 2012

Mi è stato riferito il testo di un quesito posto qualche giorno fa agli aspiranti iscritti alla Facoltà di Medicina. Proverò qua, per sport, a risolverlo in tre modi diversi, per poi proporne una semplice variante.

Ecco il testo del problema, così come l’ho sentito: lanciando contemporaneamente cinque dadi, è più probabile che la somma dei valori usciti sia un numero pari o un numero dispari?

Preciso che non entrerò nel merito della presenza di questo quesito nel test di Medicina, e che non sono a conoscenza delle modalità di detto test. Sicuramente quella proposta è una bella domanda di logica, che non mi sembra facilmente risolvibile con formule standard ma che richiede di una certa misura di ragionamento. Chi volesse provare da solo a risolvere il problema prima di proseguire, può benissimo farlo interrompendo adesso la lettura.

L’intuizione, nei problemi di calcolo delle probabilità, è sempre un’alleata poco o per nulla affidabile. Prima di fare i calcoli avrei detto, sbagliando, che una somma pari fosse più probabile. Però lo avrei detto senza nessuna convinzione: infatti, come si affronta il problema?

Prima soluzione: per ricorrenza. Il miglior consiglio che può seguire chi vuole risolvere un problema, Polya insegna, è quello di semplificare. Perché il problema è difficile? Perché ci sono 5 dadi e quindi un mucchio di risultati possibili. Tutto sarebbe più semplice se avessimo un dado solo…

Il consiglio di semplificare, per poter analizzare più agevolmente una struttura matematica, è tanto veloce da condividere e accettare, sulla carta, quanto lento e controintuitivo da applicare: a cosa mai potrà servire pensare ad un dado solo? Non è già evidente che metà delle sue facce, 1, 3 e 5, è dispari e l’altra metà, 2, 4 e 6 è pari?

Quello che abbiamo appena fatto è stato banalizzare il problema, non semplificarlo. Naturalmente un problema banale sappiamo risolverlo, ma tra questo e il problema full optional c’è una gamma di possibilità intermedie. Semplificare con criterio significa trovare la più semplice versione del problema che valga la pena di essere risolta perché, a differenza di quella banale, può insegnarci qualcosa di generale sulla struttura del problema. Ad esempio, nel nostro caso, considerare due dadi potrebbe essere una semplificazione interessante.

La somma delle facce di due dadi è pari o dispari? Sarà pari se entrambe le facce sono pari o entrambe sono dispari, sarà disparsi se le due facce non hanno la stessa parità. E questo, con che probabilità avviene? Vediamo subito, perché è il nostro caso banale, che un dado è pari con probabilità \frac{1}{2}. Questo esito è indipendente dall’esito del secondo dado, quindi la probabilità che entrambi mostrino numeri pari è \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}. Similmente la probabilità che entrambi siano dispari è \frac{1}{4}, perciò \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} è la probabilità che la somma sia pari. Infine, se non è zuppa è pan bagnato, la probabilità che la somma sia dispari è 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Risolvere questo caso è stato parecchio istruttivo. Non solo abbiamo la soddisfazione di aver fatto un passettino in avanti, che per chi risolve problemi è utilissima, ma possiamo già intuire che l’aggiunta dei restanti dadi non cambierà le cose: pari o dispari al 50 e 50. Infine intravediamo il modo di aggiungerli, i restanti dadi, uno alla volta, ossia per induzione.

In concreto, supponiamo che lanciando n-1 dadi si ottenga, con uguale probabilità, una somma pari o una somma dispari. Come cambiano le cose aggiungendo un nuovo dado? A differenza di prima, abbiamo sostituito un dado singolo con la somma di n-1 dadi. Ma questo non cambia minimamente la probabilità di ottenere una somma pari ed una faccia pari nel nuovo dado, sempre \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}; la probabilità di ottenere una somma dispari e un nuovo dado dispari, sempre \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}; un totale complessivo pari, sempre \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}; un totale dispari, sempre 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Non solo abbiamo risolto il problema originario ma l’abbiamo esteso, concludendo che il lancio di un qualsiasi numero n \geq 1 di dadi porta ad una somma che è pari o dispari con uguale probabilità.

Seconda soluzione: dualità. Il miglior consiglio per chi vuole migliorare nel risolvere problemi è quello di fare pratica, tanta e tanta pratica. E ancora pratica. E oltre a risolvere problemi diversi, è utile risolvere lo stesso problema in modi diversi. Questo per consolidare la propria conoscenza di più tecniche risolutive, perché non è detto che la freccia dell’induzione colpisca sempre il bersaglio! Inoltre inevitabilmente prima o poi commetteremo qualche errore e l’essere giunti allo stesso posto per due vie diverse può accrescere la nostra fiducia sulla correttezza del luogo raggiunto.

Vediamo quindi una seconda possibilità. Dobbiamo dimenticarci che la soluzione giusta sia 50 e 50, ma nulla ci vieta di pensare a cosa succederebbe se ciò fosse vero. Nello specifico, il piano è quello di accoppiare ogni possibile esito pari del lancio di cinque dadi con un esito dispari e viceversa. Se riuscissimo nell’intento, avremmo trovato una corrispondenza biunivoca tra gli esiti a somma pari e quelli a somma dispari, e potremmo concluderne che il loro numero è lo stesso. Seguendo questa strada potrebbe anche succedere, ad esempio, che riuscissimo ad accoppiare tutti i casi pari, ognuno ad un caso dispari diverso, e di rimanere alla fine con dei casi dispari spaiati. Avremmo comunque risposto alla nostra domanda, quindi vale la pena di tentare.

Abbiamo lanciato i casi ed ottenuto cinque valori diversi la cui somma è pari. Con quale quintupla di dadi a somma dispari l’accoppiamo? La risposta non sembra ovvia, e per trovare una buona idea si può sempre, come prima, semplificare.

Tuttavia, già con un dado solo il proposito non è banale, o almeno merita una certa attenzione. E’ uscito 2, con cosa lo accoppiamo? Teniamo conto del nostro obiettivo, una corrispondenza biunivoca, quindi è fondamentale che la nostra scelta sia sistematica. Quindi se mettiamo in relazione 2 con 1, e poi 4 con 3, e ancora 6 con 5, dovremmo farlo sempre.

In realtà sembra che un accoppiamento valga l’altro. Un’altra scelta possibile, è quella di legare 1 con 6, e poi 2 con 5, e ancora 3 a 4. Questa scelta ha il vantaggio di essere esprimibile concisamente, perché invertiamo il valore generico i, tra 1 e 6, con 7-i. In questo modo sfruttiamo la caratteristica di un dado di avere facce equidistanti dalla media, che è 3,5, di parità opposta. Inoltre possiamo pensare ad un dado reale, che ha questi valori convenientemente situati su facce opposte.

Ecco dunque una corrispondenza biunivoca per uno o più dadi: ogni lancio è accoppiato idealmente all’insieme delle facce nascoste. Questo è generale in quanto, a prescindere da quanti dadi stiamo usando, possiamo sempre capovolgerli. L’accoppiamento è reversibile, semplicemente ricapovolgendo i dadi, e cambia la parità della somma. Detto ciò possiamo concludere, per la seconda volta, che la probabilità di una somma pari è la stessa di quella di una somma dispari.

Terza soluzione: funzioni generatrici. Se i due primi approcci sono elementari all’occhio allenato, e percorribili “su due piedi”, questo metodo è quasi certamente un abuso, aggiunto per puro diletto.

La funzione che genera le probabilità degli esiti del lancio di un dado (da cui il pedice 1) a sei facce è p_1(x) = \frac{x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6}{6}. Lo vediamo perché il coefficiente di ogni potenza di x è sempre \frac{1}{6}, che rappresenta la probabilità di ottenere quella determinata potenza lanciando il dado.

Per la somma di variabili indipendenti, come lo sono i nostri cinque dadi, si ottiene una funzione generatrice delle probabilità dal prodotto di quelle individuali. Nel nostro caso sono tutte uguali, e quindi la funzione è p_5(x) = \left( \frac{x + x^2 + \ldots + x^6}{6} \right)^5. Notiamo che dal lancio di 5 dadi possiamo ottenere da un minimo di 5 ad un massimo di 30, e che tutti i valori intermedi sono raggiungibili. Dunque si può anche scrivere p_5(x) = \beta_5 x^5 + \beta_6 x^6 + \ldots + \beta_{30} x^{30}.

Esplicitare i coefficienti \beta_i, eseguendo la quinta potenza del polinomio, non è certo un’idea felice. Ricordiamo che il nostro obiettivo è quello di dimostrare il rapporto, minore, uguale o maggiore, tra la somma dei coefficienti delle potenze pari, \beta_6 + \beta_8 + \ldots + \beta_{30} e quella per le dispari, \beta_7 + \beta_9 + \ldots + \beta_{29}. In realtà noi proveremo un risultato leggermente più forte, vale a dire che la sequenza dei coefficienti è palindroma. Per brevità, dirò che palindromo è il polinomio.

Dimostriamo un lemma intermedio che ci assicura che due polinomi palindromi portano ad un polinomio prodotto anch’esso palindromo, sempreché i due polinomi di partenza abbiano un termine per ogni potenza compresa tra la minima e la massima. In realtà il lemma è intuitivo, e la dimostrazione non è altro che l’applicazione della definizione di prodotto tra polinomi.

Lemma. Siano

a(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n

e

b(x) = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \ldots + b_m x^m

due polinomi palindromi, cioè dove a_i = a_{n-i} e b_j = b_{m-j}. Allora anche la sequenza dei coefficienti del prodotto c(x) = a(x) b(x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_{n+m} x^{n+m} sarà palindroma, ovvero c_k = c_{n+m-k}.

Dimostrazione. Il coefficiente generico è c_k = \sum_{ij} a_i b_j, dove la sommatoria è estesa alle coppie di indici (i, j) tali per cui i + j = k, cioè j = k - i. Per le ipotesi sui coefficienti di a(x) e di b(x) si può scrivere

c_k = \sum_{i,j} a_i b_j = \sum_{i,j} a_i b_{k-i} = \sum_{i,j} a_{n-i} b_{m-k+i} = \sum_{i,j} a_{n-i} b_{m-j} = c_{m+n-k}.

La sommatoria è sempre estesa alle stesse coppie (i, j) per le quali i+j=k. Ma per queste coppie, (n-i)+(m-j) = n+m-k, da cui l’ultimo passaggio.

Nel lemma, per non appesantire le notazioni, abbiamo considerato polinomi con termine minimo costante. Chiaramente, se a(x) è palindromo, lo stesso si può dire per xa(x), per x^2 a(x), e così via.

Ritorniamo al nostro problema e applichiamo il lemma sul polinomio palindromo p_1(x) che viene moltiplicato con copie a lui identiche. I risultati, p_2(x) = p_1(x) p_1(x), ecc, sono sempre palindromi, incluso p_5(x). Abbiamo quindi dimostrato che \beta_5 = \beta_{30}, che \beta_6 = \beta_{29}, che \beta_7 = \beta_{28}, ecc, e ne possiamo concludere, come volevamo, che

\beta_5 + \beta_7 + \ldots + \beta_{29} = \beta_{30} + \beta_{28} + \ldots + \beta_6.

Dopo questa piacevole passeggiata insieme, ora è il vostro turno. Lanciamo ancora i cinque dati, sommiamo i valori ottenuti e dividiamo il totale per tre. La divisione può essere esatta, oppure avere un resto di 1 o di 2. Cosa è più probabile?

Dal test d’ingresso a Medicina


Sia S = \sum_{i=1}^5 X_i, con X_i \perp\!\!\!\perp X_j e X_i \sim \mbox{Unif}\lbrace 1, \ldots, 6 \rbrace, e sia p_k \equiv \mathbb{P}(\lbrace S \equiv k \mbox{ (mod } 3 \mbox{)} \rbrace). Quanto è \mbox{argmax}_{k\in \lbrace 1, 2, 3 \rbrace} \lbrace p_k \rbrace?

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