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Epostracismo ideale

17 settembre 2012

Un’altra breve gita che abbiamo fatto quest’estate è stata al lago Muffé, in Val d’Aosta. Lo si raggiunge in un’oretta scarsa di camminata, ma non per questo non è un luogo tranquillo della natura, con un panorama rilassante dai freschi colori silenziosi.

Una volta in cima c’è poco da fare. Vien da sé che si fa un picnic, e recentemente non abbiamo certo avuto bisogno di pretesti come il breve moto per darci da fare a mangiare. E poi c’è il laghetto. E le pietre. Ci siamo messi a lanciarle in acqua cercando di farle rimbalzare quante più volte possibile, con pessimi risultati.

Come si chiama il gioco di far rimbalzare le pietre piatte? Non credo che abbia un nome, anche se in spagnolo qualcuno cerca di promuovere il termine “epostracismo” che potrebbe, nella stessa misura, essere funzionale anche in italiano.

La pietra dovrebbe colpire di striscio la superficie dell’acqua. Il lancio richiede una certa destrezza, così come la scelta della pietra giusta necessita di una certa esperienza. Ore di calcoli ci hanno permesso di raggiungere il deludente primato di tre rimbalzi. O meglio, per essere proprio pignoli, due.

Se la fisica funzionasse come dico io, basterebbe lanciare un sasso perfettamente tondo al centro del lago. Il sasso rimbalzerebbe di tre metri seguendo un semicerchio perfetto. Toccando l’acqua, ecco il secondo rimbalzo completamente automatico, sempre a semicerchio, di due metri, e per finire un ultimo arco di un metro. Ad ogni rimbalzo, la pietra potrebbe allontanarsi o avvicinarsi in modo casuale per migliorare l’effetto visivo. Questo sì che darebbe soddisfazione!

Anche a Marta piacerebbe assistere ad un fenomeno del genere: “però gli archi non dovrebbero mai intersecarsi”.

“E come potrebbero?”, ma presagisco una generalizzazione.

“Si può pensare ad un primo rimbalzo di n metri, e gli altri a scalare di n-1, n-2, fino all’ultimo di un metro solo. I salti possono avvenire casualmente in avanti o indietro, ma gli archi non possono intersecarsi. Se ci sono esattamente 100 possibili traiettorie, quanti metri è lungo il primo rimbalzo?”, affonda Marta.

“Nel lago Muffé?”, tento di riallacciarmi alla realtà.

“Lascia perdere i laghi limitati”, Marta, appunto.

Epostracismo ideale


Sia P_0 un punto fisso su una retta. Ne aggiungiamo altri n in modo tale che la distanza tra P_i e P_{i-1} sia n-i+1, e che tra i due non ci sia un punto già piazzato. Due punti possono coincidere. Sia a_n il numero di modi di aggiungere gli n punti. Se a_n = 100, quanto è n?

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