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Le avventure del Mazzocchio

2 novembre 2012

C’era una volta…

“Un re!” Diranno subito i miei piccoli lettori.

No, ragazzi, c’era una volta un pezzo di legno. Sto parlando, forse 5 o 6 anni or sono, di quando visitammo al mausoleo della Bela Rosin, alla periferia sud di Torino, un’esposizione di solidi di legno.

Uno di questi, in particolare, aveva una forma a ciambella, e scoprimmo trattarsi di un esemplare di mazzocchio. E’ questo il nome di un copricapo rinascimentale da cui il solido prende ispirazione, ed essendo anche diffuso come cognome l’ho memorizzato, per poi fare un figurone quando Chiara, pochi giorni fa, mi ha chiesto se sapevo come si chiamasse quell’oggetto rappresentato sul suo libro di arte.

In realtà il mazzocchio non è un solido geometrico regolare, ma esiste in diverse varianti. Ecco la mia preferita: ruotiamo un ottagono regolare nello spazio in modo da formare un percorso chiuso. Deve lasciare un buco centrale anch’esso ottagonale e della stessa dimensione. Nelle otto parti del tracciato, parallele ai lati del buco, la figura è quindi un prisma a sezione ottagonale. La descrizione verbale è forse lacunosa e tutt’altro che illuminante.

Nel Rinascimento, gli artisti disegnavano mazzocchi in prospettiva per ostentare la loro padronanza di questa tecnica pittorica. Oggi, crearsi una rappresentazione mentale tridimensionale dell’oggetto costituisce un ottimo esercizio, così come provare a calcolare le misure dei lati della figura.

Chiamiamo \ell il lato dell’ottagono, usato sia per la sezione che per il buco. Il mazzocchio ha allora 8 facce quadrate di lato \ell, un totale di 6\cdot 8 = 48 facce a forma di trapezio di altezza \ell e infine 8 facce rettangolari esterne alte \ell e larghe 3\ell. Altri spigoli sono lunghi \ell (3 - \sqrt{2}) e \ell (\sqrt{2}+1), che sono le basi dei trapezi. Forse qualcuno si anima a confermarlo? Prendendo queste misure per buone, lo sviluppo piano è disegnabile con riga e compasso. Notate anche che le linee oblique formano una spezzata di tre segmenti non allineati.

Scarica lo sviluppo del mazzocchio in pdf

Ritagliare, piegare e incollare due copie di questo sviluppo mi ha preso circa un’ora, con sufficienti difficoltà di manipolazione. Se volete tentare, ricordatevi di lasciare le classiche alette quando ritagliate il bordo delle facce. E speditemene poi una foto!

Si può modificare il mazzocchio in diversi modi senza snaturarlo. Il rapporto tra area della sezione e buco centrale può variare, con un risultato più tozzo o più fine. Dimensioni a parte, il poligono del buco e quello della sezione possono essere diversi e con qualsiasi numero di lati: quando il loro numero diverge troviamo una ciambella perfetta, detta anche toro. Ancora, si può pensare di ruotare attorno al proprio centro il poligono della sezione, che nel nostro caso mostra una faccia rivolta direttamente verso il centro del buco, ma che in generale potrebbe metterla di sbieco.

Volete proprio anche un problemino? OK, qual è il volume del mazzocchio? Più o meno di 77 \ell^3?

Le avventure del Mazzocchio


Qual è il volume del mazzocchio, a sezione e foro ottagonali, con foro centrale delimitato da otto facce quadrate di lato \ell?

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