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Piastrellatura in piazza

12 novembre 2012

In una piazza d’Italia, o per la precisione in almeno una piazza, c’è una piastrellatura composta da quadrati e doppi quadrati, altrimenti detti domini. Guardiamola da vicino.

Uno degli elementi caratteristici è la fila di domini orizzontali sfasati di un quadrato. E’ impossibile non pensare al videogioco dei Lemmings, quando “davamo la scala” al costruttore che metteva uno sull’altro 12 scalini, poi si girava verso il monitor e alzava le braccia per indicare che li aveva finiti, prima di proseguire buttandosi nel baratro. Rimarchevole il mondo che poteva celarsi dietro ad una manciata o meno di pixel di quattro colori diversi.

Piastrellatura, dicevo, composta da molteplici siffatte file di domini, che alternano l’orientamento da orizzontale a verticale e viceversa. Si direbbe a lisca di pesce, se non fosse per la particolarità che tra una fila e l’altra ci sono delle mattonelle quadrate.

Scegliamo a caso un quadrato e per semplicità pensiamo che la piazza si estenda indefinitamente in ogni direzione. Se il quadrato è una mattonella singola, lanciamo un comune dado da sei e moltiplichiamo il risultato per quattro. Se il quadrato fa parte di un domino orizzontale, lanciamo due comuni dadi da sei e prendiamo il risultato maggiore. Infine, prendiamo il risultato minore tra due dadi da sei se il quadrato fa parte di un domino verticale.

In che città si trova la piazza?

La domanda è mal posta, la risposta probabilmente non unica e comunque io non ricordo di aver calpestato la piazza in questione. Sono però ben contento se volete mandarmi una foto o anche semplicemente suggerire la località.

Quale sarà il risultato medio?

La vera domanda. Questioni stilistiche a parte, non è mal posta, quindi fatevi sotto.

Piastrellatura in piazza


Il piano è tassellato come in figura (si alternano una fila di domini orizzontali, una di quadrati e una di domini verticali) ed estraiamo un quadrato a caso. Siano X e Y due \mbox{Unif}\lbrace 1, \ldots, 6 \rbrace indipendenti. La variabile aleatoria Z vale 4 X se il quadrato è singolo, \max(X, Y) se appartiene ad un domino orizzontale e \min(X, Y) altrimenti. Quanto vale \mathbb{E}[Z]?

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