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Tranci d’ottagono

27 novembre 2012

Un ottagono regolare è un’oasi di pace intellettiva. Non sbraita per ottenere attenzione. E’ perfettamente avulso dai rumori del traffico, dai confini geografici (è a Torino, è a Madrid), alieno al valzer serrato delle stagioni e dei millenni. Ci preesiste e ci sopravvive. Ci trascende? Detto altrimenti: il concetto di ottagono regolare è stato propriamente concepito dall’uomo, e dunque da lui inventato, oppure appartiene all’iperuranio, il regno delle idee pure, e l’uomo ha solo avuto la fortuna di scoprirlo?

Che senso ha andare a lavorare una settimana nella capitale spagnola, visto che la vida es sueño?

Ben inteso, la matematica non può essere solo invenzione, perché una volta che ci siamo inventati l’ottagono regolare unendo otto punti equispaziati su una circonferenza, la conseguenza che la somma dei suoi angoli interni sia 1080 gradi possiamo solo scoprirla. A parte questo distinguo, si può pensare che la matematica sia prevalentemente invenzione, oppure solo scoperta.

L’invenzione implica l’ingegno, ma l’implicazione è doppia: l’ingegno implica l’invenzione perché, per definizione, quello che fa è ingegnarsi. E’ soltanto la libertà di pensare che permette l’estrinsecarsi dell’impulso creativo, mentre il determinismo coatto dato dall’essere solo materiale onirico preclude qualsiasi possibilità di invenzione: non c’è vera libertà se possiamo solo dissotterrare verità che sono già “là sotto”.

Prendiamo a caso due vertici non consecutivi di un ottagono regolare e tracciamo la retta che li unisce. Questa retta divide l’ottagono in due parti non necessariamente uguali. Prendiamo adesso un terzo vertice a caso, diverso dai precedenti, che indichi una delle due parti. In media, qual è l’area della parte di ottagono pescata?

L’area di un ottagono di lato \ell è 2 \ell^2(\sqrt{2}+1), come è sufficientemente semplice ricavare (chi calcola il volume di un Mazzocchio può ben altro…). Anche l’area media di una parte di ottagono è un numero simile, irrazionale, “là sotto”. Rimanendo all’interno dei confini della geometria euclidea, questo numero non lo stiamo mica scoprendo: è, in qualche modo, già implicito nell’ottagono. Ma fino a quando noi non lo sappiamo, che questo numero è già là, come cambia la nostra concezione di libertà?

Tranci d’ottagono


Separo in due parti un ottagono regolare con un taglio dritto passante per due vertici scelti a caso e non appartenenti allo stesso lato. Qual è in media l’area di quella delle due parti contenente un terzo vertice scelto a caso?

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6 commenti leave one →
  1. LorenzoV. permalink
    30 novembre 2012 10:16 am

    I punti collegabili dividono l’ottagono in 3 differenti modi con probabilità 2/5 in un triangolo isoscele ed un eptagono, 2/5 in un trapezio isoscele ed un esagono, 1/5 in 2 pentagoni uguali. Il terzo punto può cadere in un ciascuna di queste figure con probabilità pari al numero di lati – 2 su 6. Trovate le aree e moltiplicate per le relative probabilità, sommate in una media ponderata, considerando l’ottagono di lato unitario, l’area media è pari a 3,12 (forse)

    • 30 novembre 2012 6:58 pm

      Molto bene, confermo! La spiegazione del procedimento è chiara e sintetica, e… mi sa che è la prima soluzione completa che ricevo, quindi hai vinto una medaglia virtuale 🙂

      Tanto per confronto aggiungo qualche calcolo intermedio. Chiamo A_8 l’area dell’ottagono, A_3 = \frac{\ell^2}{2\sqrt{2}} l’area del triangolo e A_4 = \ell^2\frac{1+\sqrt{2}}{2} l’area del trapezio. Le aree dell’eptagono e dell’esagono le calcolo per differenza.

      La media si può scrivere, dopo alcuni passaggi, come \frac{\ell^2}{30} (21 A_8 - 8 A_3 - 4A_4) e, sostituendo ancora le aree, il risultato finale è \frac{\ell^2}{30}\left(19 \sqrt{2} + 20\right). Per \ell=1 viene proprio 3,124671\ldots.

      Se le due parti le avessimo scelte in modo equiprobabile, allora avremmo fatto meno calcoletti, perché le parti complementari si compensavano e il risultato sarebe stato \frac{A_8}{2}. Ma a volte uno ha voglia di fare ginnastica.

  2. LorenzoV. permalink
    1 dicembre 2012 10:15 am

    dopo aver postato, ho iniziato a nutrire il sospetto che il risultato fosse arrotondato male e che quindi non mi fossi accorto che la vera soluzione altro non fosse che il signorPgreco… sarebbe stato un bel colpo di scena!

    • 1 dicembre 2012 12:10 pm

      Non ci avevo pensato, anche perché non avevo calcolato il valore numerico ma mi ero fermato alla radice di due.

      Però… bella intuizione!

      Onestamente questo problema mi sembrava già abbastanza impegnativo, quanto a calcoli, e l’avrei chiuso così. Adesso però mi fai venire la curiosità di risolvere il caso generale, prendendo al posto dell’ottagono un poligono con un arbitrario numero di lati. E qui spunterebbero fuori trigonometria e integrali.

      Non mi stupirei minimamente di veder apparire pi greco nel caso generale, anche come parte del risultato. Inoltre, una volta conosciuta la risposta, mi aspetto che esista un modo “intuitivo” di arrivarci/giustificarla. Vedremo.

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