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Tanto va la gatta al lardo

7 dicembre 2012

Per “tanto” intendiamo un certo numero di volte, mettiamo 100. Ogni volta la gatta ha una probabilità abbastanza bassa, chiamiamola p, di fare la brutta fine presagita dal proverbio. Se in un generico furto di lardo la gatta si salva con probabilità 1-p, la probabilità che si salvi per 100 volte di fila sarà (1-p)^{100}, sempreché, come è ragionevole pensare, non ci sia dipendenza tra un furto e l’altro. Il proverbio ha ragione nel senso che la probabilità che la gatta non si salvi, 1 - (1-p)^{100}, indica praticamente l’evento certo.

Per fissare le idee su qualcosa di meno truce scegliamo come esperimento ripetuto il lancio di un dado. Dai e dai, tardi o presto dovrebbe uscire un 6. Può farlo ad ogni tiro con probabilità relativamente piccola: p = \frac{1}{6}. Calcoliamo, prima di iniziare l’esperimento, la probabilità che esca almeno un 6 in 100 lanci. Questa probabilità è ridicolmente prossima a 1. Sarebbe estremamente inverosimile che non esca mai un 6.

Guardiamo l’esperimento da un altro punto di vista, vale a dire dalla fine. Avremo ottenuto una sequenza di 100 esiti v = (3, 1, 4, 1, 5, \ldots) dove il 6, molto probabilmente, sarà uscito circa un sesto delle volte. Ebbene, la probabilità a priori di ottenere proprio v, proprio 3 al primo lancio, 1 al secondo, 4 al terzo e avanti, è p^{100}, che è un numero piccolissimo! E’ cioè estremamente inverosimile qualsiasi esito specifico dell’esperimento.

Tra p^{100} e (1-p)^{100} c’è però un abisso: è meravigliosamente più facile che non esca mai un 6 piuttosto che esca proprio v, come a dire che le inverosimiglianze non sono tutte uguali.

Il calcolo delle probabilità è intrigante sia in senso stretto che in senso largo. L’essere umano è negato a stimare le probabilità degli eventi, ed è per questo che prendiamo sovente decisioni sbagliate, tipo quella di giocare d’azzardo.

Abbiamo visto il nostro esperimento prima del suo inizio e dopo la sua fine. Adesso osserviamolo dalla posizione più pericolosa, quella intermedia. Sappiamo che uscirà almeno un 6 in modo praticamente certo, ma sappiamo che al primo lancio la probabilità è bassa, quindi non ci aspettiamo subito un successo. Dopo un paio di lanci, a prescindere dai primi esiti, la probabilità p non cambia. Tuttavia, dopo un po’, cominciamo ad aspettarci il benedetto 6.

Se dopo 50 lanci non è ancora uscito mai una volta, e forse anche molto prima, potremmo pensare che il dado sia truccato. Se abbiamo la certezza che il dado sia onesto, inizieremmo erroneamente ad attribuire più probabilità ad una sua futura uscita. E’ facile guardare con superiorità queste considerazioni, molto più difficile accorgersi quando, nella vita di tutti i giorni e spesso inconsciamente, aspettiamo gli eventi “ritardatari”. Dopo 99 lanci senza neanche un 6, il centesimo e ultimo lancio non ci guadagna minimamente in probabilità, non compensa il passato.

E’ corretto pensare che, aumentando il numero di lanci, la probabilità aumenti, quindi se l’esperimento constasse di 99 lanci avrebbe una probabilità di 1 - (1-p)^{99}, che crescerebbe a 1 - (1-p)^{100} se portassimo a 100 il numero di lanci. E’ però scorretto pensare che questa probabilità in più accresca in qualche modo l’ultimo lancio se i primi 99 non sono andati a buon fine.

Come visto, se il numero di lanci tende ad infinito, allora la probabilità che non esca mai un 6 tende a 0, cioè tende all’impossibilità. Adesso però consideriamo una variante dell’esperimento un po’ meno prevedibile. L’esperimento si suddivide in turni. Al primo turno lancio un dado, e l’esito è positivo se esce un 6. Al secondo turno lancio due dadi, e l’esito è positivo se esce un doppio 6. L’esito del terzo turno è positivo se il lancio di tre dadi presenta tre 6 e così via.

Ecco, più andiamo avanti, più la probabilità di un esito positivo si assottiglia. Però non è mai nulla, e si continua a lanciare all’infinito, quindi ha senso domandarsi: qual è, più o meno, la probabilità di non avere esito positivo?

La probabilità che non esca mai un 6, con la dovuta molteplicità, si può stimare con ragionevole facilità e con precisione accettabile anche senza computer. Chi riesce a farlo non ha bisogno di chiarimenti ulteriori riguardo al grado di approssimazione.

Tanto va la gatta al lardo


La va X_i, per i intero positivo, vale 1 se lanciando i dadi si ottengono i volte 6. Qual è la probabilità (approssimata) che almeno una X_i valga 1?

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2 commenti leave one →
  1. LorenzoV permalink
    30 dicembre 2012 9:41 am

    La probabilità che ALMENO una X_i valga 1 equivale a 1 – la probabilità che non valga mai 1; per ogni X_i c’è una sola combinazione corretta su 6^i e il suo contrario è (6^i – 1)/(6^i); quest’ultima deve essere verificata per ogni i da 1 all’infinito. Impostando il prodotto infinito si vede convergere a 0,8056773… (usando excel… i prodotti infiniti non li mastico!!)
    La probabilità che ALMENO una X_i valga 1 vale quindi circa 0,2

  2. 30 dicembre 2012 6:41 pm

    Giusto!

    Il prodotto infinito non ha una forma chiusa, ed è per questo che ho specificato che il risultato bastava approssimato. Mi accontentavo di 0,2, ricavabile a mano 🙂

    Se p=\frac{1}{6}, stiamo cercando \prod(1-p^i). Moltiplicando tutti questi fattori tra loro otteniamo una serie di addendi, tra i quali 1 (prendendo 1 da ogni fattore), -p^i (prendendo 1 da tutti i fattori tranne l’i-esimo), e molti addendi che sono il prodotto di un certo numero di -p^i. Per ogni prodotto di un numero dispari di p, ad esempio -p^2p^5p^6 c’è un corrispondente prodotto positivo di un numero pari di fattori che compensa, ad esempio p^2p^5 > p^2p^5p^6. Questo abbozzo di dimostrazione per dire intuitivamente che \prod(1-p^i) > 1 - \sum p^i. Ma 1 - \sum p^i = 1 - \frac{1}{5} = 0.8, perché è la somma di una geometrica.

    Ricapitolando: il primo fattore è 1-\frac{1}{6} = 0.8333..., tutti gli altri fattori sono minori di uno creando prodotti sempre più piccoli, ma il risultato non può essere minore di 0,8. Questa certezza, facendo solo calcoli al PC, non possiamo avercela. Per la cronaca, a me viene 0.8056877…

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