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Da una curiosa identità algebrica

12 dicembre 2012

Una curiosità algebrica

Il gioco inizia prendendo un bel numero intero. In queste situazioni, sapere cosa ne faremo avvantaggia, e nello specifico è meglio giocare con un numero non troppo grande. Sembrerà poco trasparente al lettore che sarò io a sceglierlo, ma l’alternativa sarebbe stata la disagevole organizzazione di un sondaggio. Sia dunque 11, punto.

Scriviamo ora il nostro 11 come somma di due interi, in due modi diversi. Senza trucco, e senza inganno, faccio la mia scelta e scrivo

2 + 9 = 4 + 7.

Tutto pulito, fin qua? Benissimo, ora devo fissare ancora un altro parametro, e per non farla lunga scelgo 3. Aggiungo questo numero ad ogni addendo ottenendo una nuova equazione valida. Chi non fosse convinto alzi la mano.

5 + 12 = 7 + 10

Ancora un attimo di attenzione. Inverto l’ordine dei membri nella seconda equazione, 7 + 10 = 5 + 12 e li sommo alla prima. Già che ci sono metto in ordine di grandezza i numeri, ma solo per rendere l’equazione più leggibile. Sono tutte operazioni perfettamente lecite, che danno come risultato

2 + 7 + 9 + 10 = 4 + 5 + 7 + 12.

Tutto regolare? Siete seduti tranquilli? Ehi tu! Hai qualcosa sulla spalla!

2^2 + 7^2 + 9^2 + 10^2 = 4^2 + 5^2 + 7^2 + 12^2.

Ed è qui che eravamo rimasti. Non proprio qui? C’è qualche odore strano nell’ultima equazione? Il prof di mate vi ha raccontato che le funzioni quadratiche non sono lineari? E invece i conti tornano:

4 + 49 + 81 + 100 = 16 + 25 + 49 + 144 = 234.

Ho letto questa chicca in giro per la rete. La spiegazione del funzionamento è molto semplice, non appena si introduce qualche simboletto algebrico. Prendiamo infatti come ipotesi che

a+b = c+d

e aggiungiamo un k a tutti gli addendi. I passaggi di prima portano a

a + b + (c+k) + (d+k) = (a+k) + (b+k) + c + d,

e se eleviamo al quadrato tutti i numeri vorremmo che

a^2 + b^2 + (c+k)^2 + (d+k)^2 = (a+k)^2 + (b+k)^2 + c^2 + d^2.

Perché quest’ultima equazione dovrebbe essere vera? Sviluppando i quadrati dei binomi, notiamo che sia a sinistra che a destra ci sono a^2, b^2, c^2, d^2 e possiamo quindi eliminarli. Da entrambe le parti ci sono anche due volte k^2, con destino analogo. Questa equazione è allora equivalente a quel che rimane, cioè ai doppi prodotti. Ma

2k(c+d) = 2k(a+b)

è vero per ipotesi.

Cosa permette al giochetto di funzionare? L’addizione e l’elevamento a potenza, ossia la moltiplicazione. Vale senza problemi in tutti gli spazi vettoriali, dove queste due operazioni sono definite, e vale, tanto per dirne una, se al posto di interi prendessimo matrici di numeri. Affascinante.

Numeri di Fibonacci

L’equazione con i quadrati si poggia sull’ipotesi di scrivere un numero come due somme diverse, di due addendi ciascuna. Con un piccolo trucco, poniamo a zero uno dei due addendi,

a + 0 = c + d,

il che suggerisce la celebre relazione di ricorrenza dei numeri di Fibonacci:

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}.

Il nostro giochetto si serve di un numero k da aggiungere da tutte le parti. In questo caso, una scelta fortunata potrebbe essere k = F_{n+1}. Infatti arriviamo a dire che

F_n^2 + 0^2 + (F_{n-1}+F_{n+1})^2 + (F_{n-2}+F_{n+1})^2

è uguale a

(F_n+F_{n+1})^2 + (0+F_{n+1})^2 + F_{n-1}^2 + F_{n-2}^2.

Facciamo un minimo d’ordine. A primo membro possiamo espandere il termine F_n seguendo la definizione, a secondo membro possiamo usare la definizione di F_{n+2} per semplificare. La conclusione è questa formula

(F_{n-1}+F_{n-2})^2 + (F_{n-1}+F_{n+1})^2 + (F_{n-2}+F_{n+1})^2 = F_{n+2}^2 + F_{n+1}^2 + F_{n-1}^2 + F_{n-2}^2.

Ad esempio, se F_n=13, i due numeri di Fibonacci precedenti e i due successivi sono 5, 8, 21, 34. Le somme tra parentesi sono 5+8=13, 8+21=29 e 21+5=26, quindi la formula ci dice che

13^2 + 29^2 + 26^2 = 5^2 + 8^2 + 21^2 + 34^2,

che si verifica essere vera. Il risultato è 1686.

La formula con i quattro numeri di Fibonacci, giochetto algebrico a parte, può essere dimostrata direttamente svolgendo i quadrati e applicando la definizione. Simbolicamente, si può rappresentare nel diagramma seguente.

Geometria

Quando vedo una relazione dove ci sono quadrati di interi, non posso fare a meno di immaginare il contenuto spaziale di questa relazione, la forma dei quadrati. Nel nostro caso dividiamo un segmento in due modi diversi, a+b e c+d, e costruiamo sopra altrettanti quadrati. Due di questi quadrati sono bordati da una cornice spessa k.

La relazione dice, in sostanza, che non importa se applichiamo questa cornice sui primi due quadrati o sui secondi due. Considerando la figura, è evidente che la larghezza totale dei pezzi di cornice è una costante, ed è facile notare la simmetria tra i pezzi verticali e orizzontali.

Non è ancora finita! E’ stata tirata in ballo la geometria, e allora che balli…

I quadrati hanno ciascuno due vertici che non appartengono al segmento di partenza, quello per intenderci lungo a+b. Possiamo tracciare quattro cerchi: ogni cerchio passa per i due vertici del quadrato e per il vertice più vicino del quadrato complementare. E’ più facile dirlo che vederlo. O meglio, viceversa.

Uniamo ora i centri di questi cerchi per ottenere… OK, siete seduti, vero? Un parallelogramma! Avanti, capacitatevene pure con tranquillità, e qualora vi riprendeste, ditemene l’area. Coraggio, che è solo un parallelogramma, non un quadrilatero generico.

Da una curiosa identità algebrica


Dividiamo un segmento in due parti di lunghezza a e b e costruiamoci sopra due quadrati. Dall’altro lato del segmento facciamo la stessa cosa dividendolo in due parti lunghe c e d. Per ogni quadrato tracciamo il cerchio che passa per i due vertici non appartenenti al segmento e per il vertice più vicino, e non appartenente al segmento, del quadrato complementare. Qual è l’area racchiusa tra i quattro centri dei cerchi?

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4 commenti leave one →
  1. LorenzoV. permalink
    12 dicembre 2012 10:06 am

    Metà del quadrato costruito sul segmento. I lati dei quadrati fanno da secanti ai cerchi permettendo di individuare il centro delle circonferenze e, conseguentemente i valori di base ed altezza del parallelogramma. Sia A il quadrato blu e B quello rosso la base va da A/2 a A+(B/2) vale cioé metà del segmento d’origine (X). L’altezza nella metà superiore è medio proporzionale tra A e B, in quella inferiore è medio proporzionale tra C e D. Dato che (A+B)/2=(C+D)/2 l’altezza complessiva del parallelogramma è X, la base è X/2 e l’area (X^2)/2.

    • 12 dicembre 2012 11:37 pm

      Benissimo, tutto giusto! L’unica svista: non è medio proporzionale ma semplicemente media aritmetica. Ma non importa, tanto poi i calcoli li fai giusti. Ciao!

  2. 12 dicembre 2012 11:03 pm

    Caro Jean, volevo chiederti se ti andrebbe di partecipare al Carnevale della Matematica n.56 che ospiterò venerdì, sul mio blog Scienza e Musica. Questo bel post, tra l’altro, è consonante col tema del Carnevale, ovvero “Algebra, algebre e storia dell’algebra”.
    Leonardo Petrillo

    • 12 dicembre 2012 11:11 pm

      Ciao Leonardo… In realtà proprio in questo momento ti stavo scrivendo una mail riassumento i post del mese per chiederti di includerli nel Carnevale! Abbi fede, che mancano ancora 50 minuti alla scadenza 🙂 Comunque ti ringrazio per l’apprezzamento e a fra poco via la mail.

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