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L’uomo medio senza spessore

27 dicembre 2012

Nell’ipercalorico periodo delle vacanze di Natale, Lorella tenta disperatamente di sconfiggere il fastidioso oltre che pernicioso “pensiero fatto”, parente della tutto sommato innocua frase fatta, immergendosi in una realtà alternativa intessuta tra le pagine di, e ricordo che alla fine del 2012 ne esistevano ancora, un libro.

Flatlandia, di Abbott, è ambientato in un mondo a due dimensioni, con descrizione delle implicazioni e limitazioni di tale contesto fisico e di come nonostante queste, una collettività di individui trovi il modo di creare ugualmente disuguaglianze sociali. Lorella insiste nel dire di averlo scelto perché classico irrinunciabile, e non ammetterebbe mai di essersi fatta condizionare dal titolo dichiaratamente snello, quasi come roccaforte al riparo da zuccheri, grassi e carboidrati.

In inglese, l’aggettivo flat significa piatto, come gli schermi digitali. Usato come sostantivo significa piano, come quello di un edificio. In italiano, invece, non significa proprio nulla, anche se questo lo sapete già. Sono dell’idea che usare parole straniere intraducibili arricchisca una lingua, ma forse qualche sforzo di traduzione in più sarebbe ancora più fortificante. Certo, Piattolandia ricorda forse spiacevoli animaletti, e Paese delle Sole potrebbe avere un doppio senso adattabile a qualche Paese reale, ma tanto nessuno mi paga per tradurre.

Nel libro, gli uomini comuni sono quadrati. Essendoci solo due dimensioni, quando si incontra un quadrato lo si vede solo come segmento nella retta che costituisce l’intero campo visivo. A parità di distanza, il segmento può avere dimensione variabile. L’uomo può mostrarci un lato frontalmente o essere girato verso qualche altra parte. L’uomo medio ha lato \ell.

Chiara propone a Lorella un problema sul tema: “Disegniamo un quadrato di lato \ell e dentro questo un cerchio inscritto. E siamo nel nostro mondo, quindi il quadrato e il cerchio li vediamo dall’alto. Ora estraiamo a caso un punto sul quadrato, e se questo punto è interno al cerchio ti regalo una foto di un uomo medio, presa dal mondo piatto. Tutte le foto sono scattate dalla stessa distanza ma su passanti ignari e quindi orientati casualmente.”

“E se il punto è esterno al cerchio?”, Lorella non sembra essere stata colta alla sprovvista.

“Allora niente foto.”

“OK, e qual è il punto?”

“Può essere uno qualsiasi uniformemente distribuito all’interno del quadrato”, ripete Chiara palesemente accusando i bagordi festivi.

“Va bene, ma intendevo qual è il problema?”

“Ma quanto ti aspetti di misurare come larghezza, no?”

L’uomo medio senza spessore


Se un punto uniformemente distribuito all’interno di un quadrato è anche interno al cerchio inscritto, la variabile aleatoria X è pari alla lunghezza della proiezione su una retta data di un quadrato di lato \ell, centro dato e orientamento casuale uniforme. Altrimenti X=0. Qual è la media di X?

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8 commenti leave one →
  1. 27 dicembre 2012 11:27 am

    π/4.

    • 27 dicembre 2012 10:26 pm

      Mi risulta che quella sia la prob di ottenere la foto, che dovrebbe essere ancora moltiplicata per la larghezza visibile dell’uomo.

  2. LorenzoV. permalink
    29 dicembre 2012 11:43 am

    la lunghezza varia equiprobabilmente da l (vista frontale) a l per radice di due (vista di spigolo, diagonale del quadrato) quindi il valore atteso è uguale alla media dei due estremi l/2 *(1+rad2) per la probabilità pi greco/4

    • 29 dicembre 2012 6:19 pm

      Purtroppo non basta ancora… Il quadrato può essere ruotato di un angolo qualsiasi con la stessa probabilità. La larghezza però dipende da questo angolo in modo *non* lineare, quindi la larghezza media non si può ottenere semplicemente come media dei due estremi che hai giustamente scritto tu.

      Per trovare questa media ho usato un po’ di trigonometria e un integrale (vedi tag dell’articolo).

      Il peso di pi greco quarti, già saltato fuori, non l’ho aggiunto per capriccio ma per “pulire” la risposta finale… Per questo motivo immagino si possa risolvere il problema senza usare trigonometria e analisi, ma per adesso non saprei come.

  3. LorenzoV. permalink
    30 dicembre 2012 11:50 am

    Facendo perno su uno spigolo, ruoto il quadrato di lato unitario di 45 gradi, la lunghezza visibile va da rad2 a 1 descrivendo uno spicchio di circonferenza di area 4/pi_greco. Questo valore rappresenta la lunghezza media supponendo di trasformare lo spicchio in un rettangolo di area equivalente e di lato noto pari all’altezza (seno) dello spicchio che guarda caso è 1. La lunghezza media 4/pi per la probabilità pi/4 dà il bel valore di 1 (che più “pulito” non si può)

    • 30 dicembre 2012 8:06 pm

      Sono commosso 🙂 Hai beccato il risultato giusto!

      Il tuo ragionamento mi sembra molto interessante, perché non fa uso di integrali, ma ho paura di non aver capito bene. Tu dici di sollevare un quadrato unitario per un vertice fino a che diventa un rombo. Lo spicchio compreso tra le due posizioni della diagonale che parte dal perno ha come area un ottavo di \sqrt{2}^2\pi, cioè \frac{\pi}{4}. Intendevi forse questo spicchio (alias settore circolare, alias fetta di pizza)?

      • LorenzoV. permalink
        31 dicembre 2012 1:01 pm

        sì, è così!
        Ne approfitto per augurare un felice 2013 a tutti!

      • 31 dicembre 2012 2:11 pm

        Grazie del chiarimento, ci penserò ancora un po’.

        Buon Anno anche a te e a tutti quelli che passano di qua!

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