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Arcanum

28 gennaio 2013

Una cosa che non mi contraddistingue è la vivacità mentale mentre faccio colazione. Non è inusuale sentirmi rispondere, ad una mia interrogazione su una marmellata o dei biscotti, qualcosa come “ma non ti ricordi? E’ finita la settimana scorsa! Certo che li abbiamo già aperti, e li hai anche mangiati”. E simili.

Questa mattina stavo mangiando muesli e yogurt, cosa che non facevo da mesi. O almeno così credo. Fissando il muro in catalessi, ripensavo alla massima di Seneca: “Muslinum muslinum vitae (est)“, cioè il muesli è il muesli della vita. O era Tacito? Dopo lunghe riflessioni con cucchiaino a mezz’aria e sguardo da gamberetto, mi sono accorto che gennaio è quasi finito, e devo ancora smontare il presepe e rispolverare alcuni matematici addobbi mentali.

Una delle costanti delle festività natalizie in casa Conlemele sono le estenuanti sessioni ai giochi da tavola. Si spostano pedine, si lanciano dadi, Marta chiarisce svariati e basilari aspetti sulle regole dei giochi, si mangiano dolci, si mescolano e distribuiscono carte, si assegnano gettoni e segnalini, Marta cavilla sui regolamenti, si mangiano altri dolci, si parla a vanvera, si collocano tessere e tabelloni, Marta vince una partita dopo l’altra, e così via.

In una delle ultime sessioni di gioco della stagione festiva, per rendere l’idea, abbiamo giocato a Munchkin, Tantrix e Corsari. Abbiamo anche fatto un paio di partite a Parqués, un gioco tradizionale che può ricordare un po’ il backgammon. Lo sapevate? Nel video ufficiale di The name of the game, è possibile vedere gli ABBA alle prese con questo gioco.

Il giocone nuovo di quest’anno è stato Arcanum. Mi soffermo soltanto sulla disposizione iniziale dei pezzi per ovvi motivi di interesse matematico. Nella scatola ci sono pedine a forma di pezzi degli scacchi e rappresentanti quattro tipi di nobili: un Re, una Regina, un Fante e un Cavaliere, dove per questi ultimi hanno usato pedoni e alfieri. I nobili sono gialli, verdi, blu e rossi perché appartengono a quattro casate diverse, per un totale di 16 pedine.

Il tabellone rappresenta una città medievale, con evidenziate 10 zone diverse. All’inizio del gioco, si chiede di sparpagliare i nobili nelle zone in modo da avere al più due nobili per zona e di non mettere mai due nobili della stessa casata nella stessa zona. A occhio, alcune distribuzioni iniziali sono più probabili di altre, perché nella pratica prima si mettono le pedine alla come viene viene, due per volta in ogni zona per far prima, e poi si spostano quelle che violano i vincoli.

All’inizio della partita le 10 zone possono essere tutte occupate, oppure una o due zone possono essere vuote. Il numero di distribuzioni iniziali che lasciano vuote esattamente due zone è il più facile da calcolare: qual è il suo fattore primo più grande?

E’ un problema ancora gestibile a mano, così come a mano ho contato il numero di distribuzioni con una zona libera per verificare il risultato di un programmino scritto al PC. Per il numero totale di distribuzioni mi fido invece ciecamente del programmino: sono 98062650, numero che deve ancora essere moltiplicato per (4!)^4 che sono le permutazioni dei tipi di nobili delle quattro casate. Risultato: più di trentamila miliardi. Praticamente niente.

Arcanum


Qual è il più grande fattore primo del numero di modi in cui i 16 punti di coordinate (i, j), con i e j tra 1 e 4 possono essere messi in 10 insiemi se gli insiemi sono numerati e ogni insieme o è vuoto o contiene esattamente due punti con ordinata diversa?

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