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Hanno ragione loro

7 febbraio 2013

Ascoltando una canzone è possibile cogliere un doppio senso non necessariamente voluto da chi l’ha scritta, o cogliere un senso unico nel caso di parole che ne sono altrimenti prive. E poi c’è il semplice travisare. Chi è il soggetto della frase “e se mi volessi uccidere” in Lunedì di Samuele Bersani?

Nella canzone della Bandabardò, sono un gruppo di non meglio precisati “loro” quelli che “hanno ragione”. Una caratteristica di questi soggetti è quella di avere “sette punti cardinali”, che sono tre più del normale. I quattro standard, lo si capisce subito, sono riferimenti posizionali relativi, “hanno il dietro, il davanti, sinistra e destra”, in contrasto quindi con quelli assoluti, “Nord, sud, ovest, est” snocciolati dagli 883.

Completando l’elenco, uno di Loro può muoversi anche:

  • “sopra la testa”, quindi in su di uno;
  • “dove sono io”, cioè stare fermo un turno;
  • “la direzione del sogno”, che è evidentemente la meta.

Posizioniamo uno di loro nel cubetto centrale della faccia in basso in un cubo 3\times 3\times 3. In media, quanti passi in una delle sette direzioni scelte ogni volta in modo equiprobabile mi aspetto siano necessari per raggiungere il sogno o uscire dal cubo?

Il calcolo è lungo e poco edificante. (Forse a qualcuno potrebbe tornare un poco meno di quattro passi o, scritto in frazione ridotta, 41185 su 10584, che sono poi anagrammi con un uno che diventa zero…). Si può però semplificare permettendo solo l’uscita dall’alto, oltre alla scorciatoia per la settima direzione. Uscire da destra ci fa rientrare da sinistra, e viceversa ed eccetera. Quanti passi servono in media?

Dalla semplificazione alla generalizzazione, si può determinare il numero medio di passi per una struttura a 4 o più strati uno sopra l’altro. Più aumenta il numero di strati, più raggiungere la cima richiede tempo, ma a questo punto della storia succedono due cose carine: la prima è che il numero medio non cresce indefinitamente, ma converge ad un certo valore; la seconda è che questo valore lo si può validare anche con ragionamento diretto, senza grossi calcoli.

Hanno ragione loro


Un cursore si trova in (1, 1, 0) in un cubo 3\times 3\times 3 modale nelle prime due dimensioni ((0, 0, 0) = (3, 0, 0), ecc). Ad ogni istante può, con uguale probabilità, muoversi di \pm 1 in una delle prime due dimensioni, di +1 nella terza dimensione, stare fermo o uscire dal cubo. In quanti istanti, in media, esce dal cubo (è considerato “fuori” anche (i, j, 3))?

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