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Arepas

2 aprile 2013

Le arepas sono le protagoniste indiscusse della cucina venezuelana. La loro preparazione non potrebbe essere più semplice e veloce, trattandosi di mischiare grosso modo una tazza d’acqua per ogni tazza di farina di mais precotta, con un pizzico di sale, lavorare in polpettine schiacciate e farle cuocere in padella unta per qualche minuto. La farina in questione si chiama PAN, che è il nome commerciale, e si trova con un po’ di fortuna anche in Italia, per esempio in qualche supermercatino cinese.

Le arepas cotte si tagliano a metà e si farciscono come meglio aggrada. Ecco tre possibilità più o meno tipiche. Formaggio qualsiasi e/o wurstel passati in padella e/o mozzarella e/o prosciutto cotto possono andare benissimo. In alternativa, tonno schiacciato con la maionese, al quale noi ci aggiungiamo pezzetti di capperi ma non di cipolla. E non può mancare il periquito: uovo strapazzato con pomodoro a pezzi, al quale noi ci aggiungiamo roba piccante ma non cipolla. Buon appetito!

Quando cuciniamo insieme, Lorella è attenta a non mangiare troppo. Per due, una tazza di farina basta. Con metà impasto facciamo due arepas più grandi, e con l’altra metà tre arepas più piccole, così che alla fine lei, prendendone solo una grande e una piccola, ne mangia meno della metà. Sembrerà poco, ma finisce che io mangio percentualmente ben più di lei. Quanto?

In Venezuela si cuoce sul budare, che è una piastra larga rotonda priva di bordo e di manico. Noi facciamo senza, e approssimiamo con una padella normale. Immaginando di fare cinque arepas come descritto, tutte con la stessa forma ma tre con minore volume, si potrebbe cercare di calcolare il raggio massimo x perché entrino senza sovrapposizioni nel cerchio della padella. Un bel problema che però non propongo perché la soluzione in forma chiusa non esiste, e si può solo trovare numericamente con l’ausilio di un computer. Ad esempio, ipotizzando un rapporto di \sqrt{\frac{2}{3}} tra i raggi delle piccole e delle grandi, che si avrebbe con cilindri dello stesso spessore, la grande mi viene 0.41428 del raggio della padella.

Si può però risolvere il problemino derivato seguente. Immaginiamo due sole arepas dentro la padella, tangenti tra loro e tangenti alla padella. Diciamo che il raggio della prima è un quarto del raggio esterno, e diciamo che il triangolo che ha per vertici i tre centri ha area massima. A questo punto si può calcolare il rapporto tra il raggio della seconda arepa rispetto alla prima.

Come bonus, aggiungo che, se la prima arepa avesse avuto come raggio un terzo del raggio esterno, allora la risposta sarebbe stata forse un po’ banale ma almeno direttamente interpretabile. Per concludere, non mi spingo a dire che ci sia una soluzione puramente geometrica, ma azzardo un “chissà”: qualcuno sarà capace di disegnare la figura che risolve il problema con solo riga e compasso?

Arepas


Internamente tangenti ad una circonferenza unitaria, due circonferenze tra loro esternamente tangenti hanno raggio l’una \rho volte l’altra, di modo che il triangolo tra i tre centri abbia area massima. La prima circonferenza ha raggio \frac{1}{4} di quella esterna. Quanto è \rho?

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2 commenti leave one →
  1. LorenzoV. permalink
    10 aprile 2013 10:22 am

    ρ vale 3/2. Essendo la base del triangolo data dalla differenza dei centri delle due prime circonferenze, a determinare l’area massima è solo l’altezza, ovvero la coordinata alle ordinate del centro della terza circonferenza, immaginando di mettere le le figure su un piano cartesiano con origine nel centro della “padella”. Il fascio di circonferenze internamente tangenti alle prime due è originato dalla messa a sistema delle equazioni delle due circonferenze con un raggio diminuito per la maggiore e aumentato per la minore di un dato r (che rappresenta il raggio della circonferenza tangente). Derivando per x e ponendo la derivata a 0 si ottiene y=1/2 per r=3/8.
    Dato che la prima “arepa” ha raggio 1/4, il loro rapporto è 3/2.

    • 16 aprile 2013 9:18 pm

      Coincide col mio risultato, molto bene! Ho provato a rifare i calcoli che hai descritto e mi torna tutto. Mi piace l’impostazione di massimizzare l’altezza del triangolo tenendo fissa la base, non ci avevo pensato.
      Io l’avevo risolto in modo abbastanza diverso, usando una formula che mi è sempre piaciuta molto ma che non mi è mai servita a nulla. E’ quella di Erone, che dice che, se s è il semiperimetro di un triangolo di lati a, b e c, ecc. Per chi non conoscesse la formula, c’è Internet.
      Se x=\frac{1}{4} e x \rho sono i raggi dei due cerchiinterni e 1 è il raggio del cerchio grande, allora il triangolo che unisce i tre centri ha semiperimetro… 1!!!
      Massimizzare l’area è come massimizzarne il suo quadrato (trasformazione monotona), quindi derivo per \rho, pongo a 0 e giungo al risultato.

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