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Mi si sono ristretti i poligoni

15 aprile 2013

Un ottagono regolare. Ancora. Mi ci sto affezionando. Il fatto è che è simmetrico, facile da disegnare e rispetta pure dei vincoli minimi del problema, chiari fra un attimo. Un buon compromesso di vestibilità ed eleganza, estremamente moderno ma nel rispetto della tradizione, dinamico mica tanto, lo concedo, ma indispensabile per vivere il tuo presente. Iscriviti ora alla newsletter Esser ottagoni oggi, e riceverai in omaggio i primi due angoli ottusi completamente virtuali! Il prezzo dell’iscrizione non è rimborsabile.

Dentro l’ottagono, su ogni lato, disegniamo un triangolo equilatero. Uniamo adesso i vertici dei triangoli opposti ai lati dell’ottagono e avremo una figura simile a quella di partenza, ma un po’ ruotata e più piccola.

Il processo di restringimento può essere eseguito su qualsiasi poligono di partenza, anche se noi ci occupiamo solo di quelli regolari. Se riduciamo il numero di lati abbiamo un poligono ristretto più piccolo. Ecco cosa succede con sette lati.

Con sei lati i nuovi vertici dei triangoli coincidono, e l’area dell’esagono ristretto, degenere, è nulla.

Restringere un pentagono regolare ci porta ad un pentagono che diremo, per convenzione, che ha area negativa. Così come per il quadrato, l’insieme di triangoli si ripiega accartocciandosi.

Il caso limite è quello del triangolo equilatero che, ristretto, ha un’area negativa pari al 100% dell’area di partenza. La figura non la metto perché non è illuminante.

Giunti a questo vicolo cieco, proviamo a fare marcia indietro e a muoverci in senso opposto, aggiungendo lati. Eccone nove, dieci e undici.

Il poligono ristretto occupa una frazione sempre maggiore del poligono di partenza. Può essere un bell’esercizio di intuizione prevedere cosa accadrà continuando ad aggiungere lati all’infinito. Ecco un paio di passi in più.

Raggiunto un certo numero di lati, il poligono ristretto avrà per la prima volta un’area superiore ad un mezzo quella della sua versione originale. Quanti lati sono necessari? Per rispondere a questa domanda, anche con le figure sotto gli occhi, la mia intuizione è servita a poco…

poligono_scalati15

Per risolvere il problema con carta e penna, ho usato 1 - \frac{x^2}{x} e x invece di \cos(x) e \sin(x), approssimazioni che si sono rivelate sufficienti.

Mi si sono ristretti i poligoni


Dato un poligono regolare di n \geq 6 lati di area A, sia A' l’area del poligono che unisce i vertici interni degli n triangoli equilateri costruiti internamente sui lati del poligono. Trovare il minimo n per cui \frac{A'}{A} \geq \frac{1}{2}.

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