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Caratterizzando l’iperbole equilatera

22 aprile 2013

Molte conversazioni hanno un inizio un po’ vago e imprevisto, quasi piombassero dall’alto. Arrivano ad un certo equilibrio di toni su un qualche argomento in particolare e poi van scemando, sicché son sempre il principio e la fine i momenti meno definiti.

Quando Lorella ebbe concluso un suo intervento riassumendo coi termini proporzionalità inversa il legame tra due fenomeni, io mi riagganciai al discorso per menzionare l’iperbole, l’oggetto matematico più semplice che cattura l’idea. A proposito di iperbole, Lorella mi riportò quando a suo dire c’era scritto sulla Wikipedia, di una sua caratterizzazione che mi giunse nuova e che esploreremo a breve. E sempre a proposito di iperbole, Marta contribuì indicando che 1 = XY può essere un gancio mnemonico per ricordare che nell’uomo (il numero uno è maschile) i cromosomi sessuali sono XY, e di conseguenza XX sono quelli femminili. La catena di connessioni può essere percorsa al contrario, per chi da solide fondamenta genetiche vuole ricordarsi l’equazione dell’iperbole. Il discorso poi sfuggì di mano, deviato nella questione di che cosa fosse materialmente un cromosoma, e poi un gene di cui è costituito, e avanti, fino a spostare appena quel velo di polvere per esporre il levigato, perfetto e profondissimo pavimento di ignoranza su cui tutti camminiamo. Per quanto la si tolga, la polvere continua a riposarsi.

Secondo quanto mi ripeté Lorella, un’iperbole è il luogo geometrico dei centri delle ellissi tangenti a due ellissi date. Meraviglioso! Non che non mi fidi, anche se non mi fido, ma proviamo a vedere che la definizione regga almeno per il caso più semplice, quello già citato dell’iperbole equilatera di equazione

y = \frac{1}{x}.

Questa è una funzione, ed è più semplice da trattare di un generico luogo geometrico. In un luogo geometrico, come il cerchio, ad ogni x possono corrispondere un qualsiasi numero di y. In una funzione, come \frac{1}{x}, ogni x è legata al più ad un y solo. Quali iperboli non sono funzioni ma luoghi geometrici? Ad esempio la nostra, ma ruotata di 45 gradi.

Attenzione! Mi sono scottato più volte con un’intuizione troppo azzardata, e so che può risultare mendace all’analisi algebrica. Quello che segue contiene un altissimo grado di informalità e direi che, più che una dimostrazione, è un conforto.

Vogliamo verificare che y = \frac{1}{x} sia il luogo geometrico dei centri delle ellissi tangenti a due ellissi date. Ma nessuno ci ha dato niente! Proprio così, quindi la verifica comporta anche di capire dove e come piazzare le ellissi.

La nostra iperbole ha un grafico che ha due assi di simmetria, cioè le bisettrici degli assi cartesiani. Da questo è evidente che anche le due ellissi avranno degli assi inclinati di 45 gradi. Ma se abbiamo scelto l’iperbole più semplice di tutte, allora probabilmente queste due ellissi saranno dei cerchi! Usiamo questo ansatz, visto che semplifica di molto i calcoli, e proviamo a verificare che y = \frac{1}{x} è il luogo geometrico dei centri dei cerchi tangenti a due cerchi dati. Li chiameremo cerchi generatori, per non far confusione.

Un primo ragionamento, piuttosto rozzo ma efficace, si basa sulla strategia generale di guardare cosa succede nei casi estremi. Prendiamo sull’iperbole un punto P di coordinate \left( m, \frac{1}{m} \right), dove m è un numero molto ma molto grande. I nostri due cerchi, in confronto alle coordinate di P, saranno piccoli e vicino all’origine degli assi. Per contro, P dovrà essere il centro di un cerchio di raggio R molto grande, e la circonferenza costeggerà l’asse verticale vicino ai cerchi in modo molto poco curvo.

Se prendiamo altri tre punti analoghi a P, ad esempio di coordinate \left( \frac{1}{m}, m \right), possiamo disegnare altri tre cerchi molto poco curvi, almeno nelle vicinanze dei due centri generatori.

Se i raggi dei quattro cerchi sono davvero molto grandi, tenderanno a confondersi con gli assi cartesiani. I due cerchi generatori devono essere entrambi tangenti a ognuno di questi cerchi, e se ne deduce la loro posizione approssimata nel primo e nel terzo quadrante. A logica potrebbero essere anche nel secondo e nel quarto, ma come si vedrà subito, scartiamo questa possibilità.

I due cerchi generatori hanno dunque centri \left(a, a\right) e \left(-a, -a\right), con a da determinarsi. Come caso specifico, il punto \left(1, 1\right), appartenente all’iperbole e alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, è il centro di un cerchio tangente ai due cerchi generatori. Lo stesso si può dire per il punto \left(-1, -1\right), e la configurazione è necessariamente quella di alternare i due cerchi generatori dentro e fuori questi cerchi.

Il raggio del cerchio con centro \left(1, 1\right) abbraccia un cerchio generatore di centro \left(a, a\right) ed è tangente esternamente all’altro. Possiamo allora calcolarlo in due modi diversi. Se r è il raggio dei cerchi generatori, ancora ignoto, allora (a-1)\sqrt{2} + r = (a+1)\sqrt{2} - r da cui r = \sqrt{2}. Finalmente abbiamo qualcosa di definito!

E’ chiaro che siamo di fronte ad una carovana di carri, alcuni davanti ai buoi, altri dietro. Nello specifico, abbiamo dato per scontato che il punto \left(1, 1\right) appartenga al luogo geometrico dei punti, anche perché questo luogo non è ancora definito non avendo i cerchi generatori. L’importante è essere coscienti di questa arbitrarietà.

Abbiamo appena usato uno degli strumenti più comuni in geometria, quello di scrivere una stessa lunghezza in due modi diversi per poter impostare un’equazione. Con il raggio appena calcolato dei cerchi generatori, possiamo applicare lo stesso metodo una seconda volta. Stiamo determinando il luogo geometrico dei punti che sono centro di un cerchio tangente ad entrambi i cerchi generatori. Un generico punto di coordinate \left(x, y\right) appartiene a questo luogo di punti se

\sqrt{(x - a)^2 + (y - a)^2} + \sqrt{2} = \sqrt{(x + a)^2 + (y + a)^2} - \sqrt{2}.

Non so voi, ma un’equazione così non mi sembra per nulla amichevole. Per togliere le radici quadrate dobbiamo elevare al quadrato, probabilmente più volte. Inoltre abbiamo tre incognite e una sola equazione, quindi a priori non se ne può cavar fuori nulla! Però… Come fa una somma di radici quadrate ad essere uguale ad una differenza di radici? O meglio, siamo di fronte ad una situazione del tipo \sqrt{A} + \sqrt{2} = \sqrt{B} - \sqrt{2}. Perché ciò sia possibile, almeno uno tra A e B deve essere quadrato perfetto, in grado in qualche modo di assimilare il termine \sqrt{2}.

Sotto radice, a sinistra, abbiamo x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2, ossia tre quadrati e due doppi prodotti. Se solo a^2 fosse il doppio prodotto giusto, avremmo esattamente (x + y - a)^2. Il caso che ci serve è quello in cui a^2 = 2xy. Aha! Ma questo deve valere per qualsiasi punto, mentre a è un numero solo! La prima cosa che deduciamo è che xy deve essere costante. Siccome abbiamo praticamente deciso che \left(1, 1\right) è una soluzione, allora la xy=1, e per finire a = \sqrt{2}.

Vediamo se così le cose funzionano? Sotto la famosa radice a sinistra abbiamo \left(x + \frac{1}{x} - \sqrt{2}\right)^2, quindi il membro a sinistra risulta x + \frac{1}{x}. A destra abbiamo sotto radice \left(x + \frac{1}{x} + \sqrt{2}\right)^2, quindi il membro a destra è anch’esso x + \frac{1}{x}.

Per riassumere, l’iperbole equilatera di equazione y = \frac{1}{x} è anche esprimibile come il luogo geometrico dei punti del piano che sono centri di cerchi tangenti contemporaneamente ai due cerchi di centri \left(\sqrt{2}, \sqrt{2}\right) e \left(-\sqrt{2}, -\sqrt{2}\right) e raggio \sqrt{2}.

In ultimo, sempre in tema di iperboli e cerchi, lascio qualcosa da fare anche a voi. Prendiamo la nostra famosa iperbole equilatera. E’ formata da due rami che si avvicinano all’origine degli assi, e i punti più vicini sono proprio \left( 1, 1\right) e \left(-1, -1\right). La distanza tra questi punti è 2\sqrt{2}, quindi un cerchio in arrivo da sud est di raggio \sqrt{2} riuscirebbe a trovare un passaggio a nord ovest. Se fosse un minimo più grande si fermerebbe prima, rimanendo bloccato.

Se il cerchio avesse raggio \frac{\sqrt{17}}{2}, riuscirebbe a toccare l’origine degli assi senza sovrapporti al grafico dell’iperbole? Più precisamente, quali sarebbero le coordinate del suo centro?

Caratterizzando l’iperbole equilatera


Qual è la distanza minima dall’origine che può avere un cerchio di raggio \frac{\sqrt{17}}{2}, non secante all’iperbole y = \frac{1}{x} e con centro nel secondo quadrante?

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