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Il quadrato di 61

20 maggio 2013

L’altra volta volevo calcolare a mente il quadrato di 61. Perché? So che può sembrare strano parlare di queste cose quando ci si sballa con la matematica ricreativa, però non bisogna mai smettere di pensare. Lo faccio perché è utile? Perché mi diverte? Come si armonizza la mia attività con la mia vita, quali sono le ripercussioni sul piano etico e quali sono i costi-opportunità? Sto semplicemente esplorando, mi sto intrattenendo, esercitando, procrastinando? E’ solo un modo per sfuggire ai mille pensieri? Chiara mi dice sempre che il mio approccio alla vita è troppo filosofico, che mi manca il “facere”, e visto anche che il quadrato di 61 non si calcola mica da solo, mi metto all’opera con vero spirito concreto.

Ci sono tanti modi per calcolare a mente 61^2. La strada che più mi attira è quella visiva. Con l’occhio della mente vedo un quadrato di 60\times 60 puntini, 3600 in tutto, che sono quasi il numero che mi serve. Mi manca giusto un’orlatura di una fila di puntini, 61 in alto e 60 a destra, ed è fatta. Per l’orlatura uso 60+60+1, o 61+60, o 61\cdot 2 - 1, o insomma, non importa dove conto il puntino in alto a destra o se lo conto due volte e poi lo tolgo, in totale sono sempre e comunque 121 puntini da aggiungere. Il risultato affiora alla mente in un tempo irrisorio: 61^2 = 3600 + 121 = 3721.

Però com’è? L’orlatura è il quadrato di 11, che coincidenza! Al quadrato di partenza aggiungo un altro quadrato e ne ottengo un terzo, cioè ci siamo imbattuti in una terna pitagorica dove la differenza tra due lati è uno: 61^2 = 60^2 + 11^2.

Vediamo ora se mi accompagnate per un tratto. La nostra situazione è quella di aver calcolato il quadrato del successivo di un numero, e di aver notato che il risultato è la somma di due quadrati. Ciò avviene sistematicamente quando (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 = n^2 + q^2, cioè per tutti i numeri n, come il 60, tali per cui 2n+1 è un quadrato perfetto.

Il nostro quadrato perfetto è un numero dispari, e lo si può disegnare con un quadratino unitario al centro, e dividere quel che avanza del quadrato in quattro rettangoli uguali, facciamo di area k. Ogni quadrato dispari ha perciò la forma 4k + 1, e nel nostro caso q^2 = 4k + 1 = 2n + 1, vale a dire che deve essere n=2k.

Abbiamo descritto una famiglia di terne pitagoriche seguendo questo procedimento. Si prende un quadrato dispari, ad esempio 11^2 = 121. Lo scriviamo nella forma 4k+1, il che come visto graficamente è sempre possibile, cosa che nel nostro caso porta a k = 30 e 121 = 4\cdot 30 + 1. Poniamo infine n = 2\cdot 30 = 60, e completiamo la terna 60^2 = 60^2 + 11^2.

Ecco cosa succede per i primi numeri dispari:

3^2 = 9 = 4\cdot 2 + 1 \Rightarrow n = 2\cdot 2=4, e 5^2 = 4^2 + 3^2;

5^2 = 25 = 4\cdot 6 + 1 \Rightarrow n = 2\cdot 6=12, e 13^2 = 12^2 + 5^2;

7^2 = 49 = 4\cdot 12 + 1 \Rightarrow n = 2\cdot 12=24, e 25^2 = 24^2 + 7^2;

9^2 = 81 = 4\cdot 20 + 1 \Rightarrow n = 2\cdot 20=40, e 41^2 = 40^2 + 9^2.

Procedere così è un po’ come mettere il carro davanti ai buoi. Nel senso che partiamo da un quadrato dispari per trovare k, mentre si può partire proprio da questo valore. Infatti k, come area del rettangolo, non può essere un numero qualsiasi ma deve avere la forma t(t+1). E’ t il vero parametro della terna: per ogni t = 1, 2, \ldots vale che 4t(t+1)+1 = (2t+1)^2 è un quadrato, e

(2t+1)^2 + \left(2t(t+1)\right)^2 = \left(2t(t+1) + 1\right)^2,

che si verifica in un attimo usando un po’ di algebra e un po’ di senno di poi.

Ritorniamo però al procedimento che si sviluppa a partire da un quadrato dispari, come nell’ultimo esempio il 9^2=81, e seguiamo ora una strada alternativa per raggiungere lo stesso risultato. Ogni numero dispari può essere scritto come somma di due numeri consecutivi, ad esempio 81 = 41 + 40. La cosa interessante è che la differenza di due numeri consecutivi è 1, e moltiplicare per 1 non cambia il risultato. Allora 9^2 = (41 + 40)(41 - 40) = 41^2 - 40^2, sfruttando il prodotto notevole per la differenza di due quadrati.

In generale, ogni numero dispari 2k+1 è la somma di due numeri consecutivi k+1 e k, che può essere scritta come differenza di due quadrati: 2k+1 = (k+1) + k = ((k+1)+k)((k+1)-k) = (k+1)^2 - k^2. Detto in altri termini, la somma di due numeri consecutivi è uguale alla differenza dei loro quadrati, come 5+4 = (5+4)(5-4) = 5^2 - 4^2.

Sfruttando questo fatto, si può subito scrivere ad esempio

6^2 - 5^2 + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1,

che ha un aspetto simpatico. La formula generale è meno attraente: \sum_{i=1}^{2n} (-1)^i i^2 = \sum_{i=1}^{2n}i = \frac{(1+2n)2n}{2}. Si può anche guardare la figura, che rende il risultato immediato.

Abbiamo visto una famiglia di terne pitagoriche, cioè di triangoli rettangoli come quello di lati (2026084, 2026085, 2013). Per adesso, però, basta giocare con triangoli rettangoli, anche perché altrimenti non se ne esce più, e passiamo ad un problemino.

Consideriamo un triangolo con lati interi, quindi un triangolo dove ogni lato si divide in un numero esatto di parti uguali. Chiara, Lorella e Marta colorano insieme questo triangolo pescando a caso una delle parti ancora senza colore, di qualsiasi lato, e dipingendola scegliendo a caso tra Ciano, Lime e Magenta. Ottengono così una colorazione del triangolo.

Le colorazioni monocrome sono quelle dove ogni lato è dipinto interamente usando un colore solo, anche se i colori dei lati possono essere diversi. Scegliamo il triangolo di perimetro minimo per il quale si ha una probabilità inferiore a uno su sessantamila di ottenere casualmente una colorazione monocroma. Quanto è lungo il suo lato più piccolo?

Il quadrato di 61


Qual è il lato minore del triangolo di lati interi (numero intero di sezioni per ogni lato) con minimo perimetro tale per cui il numero di colorazioni (scegliendo tra tre colori per ogni sezione di lato) supera di 60000 il numero di colorazioni monocrome (nessun lato ha due colori)?

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