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Il quadrato di 61, seconda parte

28 maggio 2013

Recentemente abbiamo contemplato che, per t = 1, 2, \ldots,

\left( 2t+1, 2t^2 + 2t, 2t^2 + 2t + 1 \right)

è una famiglia di terne pitagoriche dove due lati sono numeri interi consecutivi.

Per giungere a questo punto abbiamo seguito una strada visiva, diciamo geometrica, ma se imbocchiamo il cammino dell’algebra il paesaggio cambia notevolmente. Giusto come riscaldamento, vediamo che la terna ha senso anche per t=0, ed infatti 1^2 = 1^2 + 0^2. Questo mostriciattolo è un triangolo degenere doppiamente rettangolo: ha due angoli di 90 gradi, due ipotenuse parallele tra loro lunghe uno, un angolo nullo e un unico cateto, per giunta lungo zero. Urgh!

Se t < 0, un lato del triangolo diventa negativo. Segmenti negativi possono essere pensati come segmenti orientati. Si può ad esempio pensare di star guardando il triangolo dall’altro lato di uno specchio. Siamo ancora di fronte a triangoli rettangoli, ma sono però gli stessi che otteniamo per t > 0. Infatti, se h>0 è un intero positivo, arriviamo per -h e per h-1 allo stesso triangolo. Questo perché il lato 2t+1 per t=-h è |-2h+1|, esattamente come |2\cdot(h-1)+1|. Lo stesso discorso per gli altri lati, essendo |2\cdot(-h)^2 + 2\cdot(-h)| = |2h^2 - 2h| uguale a |2\cdot(h-1)^2 + 2\cdot(h-1)| = |(h-1)(2h-2+2)| = |2h^2 - 2h|.

Ad esempio, con h=5 abbiamo per t=-5 i lati 2\cdot(-5)+1 = -9, 2\cdot(-5)^2 + 2\cdot(-5) = 40 e quindi la terna 41^2 = 40^2 + (-9)^2, che è come quella per t=h-1=4 con lati 2\cdot 4 + 1 = 9 e 2\cdot 4^2 + 2\cdot 4 = 40.

La forma di un triangolo non cambia se moltiplichiamo i suoi lati per un numero qualsiasi diverso da 0: è come osservare la stessa mappa con un diverso fattore di scala. Per questo motivo un triangolo con lati razionali può essere trasformato in un triangolo a lati interi moltiplicando tutti i lati per il loro minimo comune multiplo. Possiamo allora scegliere per il parametro t anche un valore razionale e continuare a generare triangoli rettangoli “interi”. Se t = \frac{a}{b}, allora 2t+1 = \frac{2a+b}{b} e 2t^2 + 2t = \frac{2a^2 + 2ab}{b^2} e 2t^2 + 2t + 1 = \frac{2a^2 + 2ab + b^2}{b^2}, con minimo comune multiplo b^2. Le terne pitagoriche

(2a^2 + 2ab + b^2)^2 = (2a^2 + 2ab)^2 + (2ab + b^2)^2

dipendono ora da due parametri, cosa che promette più flessibilità.

L’ipotenusa è b^2 più lunga di un cateto e 2a^2 più lunga dell’altro. E’ semplice allora costruire ad esempio un triangolo rettangolo i cui lati sono in progressione aritmetica di ragione un quadrato perfetto, poniamo 9. Basterà che b^2 = 9 e 2a^2 = 18, cioè a=b=3. Allora 45^2 = 2025 = 36^2 + 27^2.

Torniamo al metodo visto in precedenza, basato sul trucchetto che se x-y=1, allora x+y = (x+y)(x-y) = x^2 - y^2. Avevamo terne pitagoriche per x+y quadrato perfetto. Mettiamo adesso di voler scrivere una terna con due lati di differenza data, come x-y = 17. Per avere 17(x+y) uguale a un quadrato, è sufficiente che sia x+y = 17q^2. Dato che x-y è dispari, anche x+y deve esserlo, quindi poniamo ad esempio x+y = 17 \cdot 3^2 = 153. Risolvendo il sistema troviamo x = 85 e y = 68, ed in effetti (17\cdot 3)^2 = 51^2 = 85^2 - 68^2. Il bello di seguire metodi diversi è che si possono trovare nuovi risultati, come adesso che siamo riusciti a trovare un triangolo dove due lati, 85 e 68, hanno differenza 17, mentre prima la differenza doveva essere un quadrato.

Generalizziamo! Sia a la differenza data e poniamo x-y=a e x+y = ab^2, di modo che il loro prodotto sia un quadrato. Il sistema ha soluzione x=a\frac{b^2+1}{2} e y = a \frac{b^2-1}{2}, e la terna pitagorica che ne segue è

\left(ab, a\frac{b^2-1}{2}, a\frac{b^2+1}{2} \right),

come è facile verificare.

Proviamo a usare questa terna per avere lati in progressione aritmetica, non per forza con ragione quadrata. Nello specifico, la differenza a\frac{b^2+1}{2} - a\frac{b^2-1}{2} = a deve valere come a\frac{b^2-1}{2} - ab = a \frac{b^2 - 2b - 1}{2}, da cui b^2 - 2b - 3 = 0. Le uniche soluzioni sono b=-1, che è degenere, e b=3, che porta alla terna (3a, 4a, 5a). Abbiamo scoperto l’acqua calda! Per avere un triangolo rettangolo con lati in progressione aritmetica di ragione qualsiasi basta scalare il triangolo (3, 4, 5), che ha ragione 1. Banale fin che si vuole, ma è comunque visibilmente piacevole: 5555^2 = 4444^2 + 3333^2.

Una bella possibilità è sfruttare l’asimmetria dei parametri a e b. Ritornando sui nostri passi, si può imporre x+y = a^2b invece che ab^2. La terna che ne deriva ha i simboli invertiti:

\left(ab, b\frac{a^2-1}{2}, b\frac{a^2+1}{2}\right),

ed è interessante vedere che così abbiamo due triangoli con un lato, ab, in comune. Certo, perché siano interi tutti i lati, a e b devono essere entrambi pari o entrambi dispari, come ad esempio 3 e 5, per i quali si hanno i triangoli rettangoli (15, 36, 39) e (15, 20, 25), con lato 15 in comune.

Al variare dei parametri abbiamo una famiglia di coppie di triangoli rettangoli, con un cateto in comune. Qual è l’area minima della somma di due triangoli di una di queste coppie, dove i cateti non in comune stanno tra loro come 1 sta a 4?

Il quadrato di 61, seconda parte


Trovare la minima somma delle aree dei due triangoli \left(ab, b\frac{a^2-1}{2}, b\frac{a^2+1}{2}\right) e \left(ab, a\frac{b^2-1}{2}, a\frac{b^2+1}{2} \right) se tutti i lati sono interi e se i due cateti non in comune sono l’uno il quadruplo dell’altro.

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