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Mazzocchiate

10 giugno 2013

Lorella: “Come faccio a formare due cubi mettendo insieme 15 cubetti?”

Marta: “La somma di due cubi non fa 15, anche perché già il cubo di lato 3 è 27. Forse per differenza? Un cubo grande di lato a potrebbe avere un buco a forma di cubo di lato b: un cubo scavato, negativo”.

“Provo a scomporre in fattori:
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) = 3\cdot 5,
ma facendo un po’ di prove non trovo nulla… Anzi, un minimo di calcolo modulare può aiutare ad escludere più sistematicamente la cosa. Infatti un intero si può sempre scrivere come 3a+b, con b=0, 1 o 2, e sviluppando il cubo si ha un numero che, diviso per 9, ha resto b^3, cioè 0, 1 o 8. Ma 15 è 9\cdot 1 con resto di 6, e 6 non si può scrivere sommando o sottraendo due soli numeri 0, 1 o 8. Mi domando invece…”

L: “Calma, calma! Ti stai avvicindo, ma quello che ho in mente è più che altro una sciocchezza. Pensa a due cubi 2\times 2\times 2: per formarli servono 16 cubetti, ma se ne condividono uno ne bastano 15“.

M: “Ho capito. Carino, comunque”.

L: “Ah, ti piace! Guarda, l’ho costruito con la carta”.

M: “Non dev’essere facilissimo da fare”.

L: “Lo so, non mi è venuto troppo bene, ma è un prototipo e non volevo perderci tempo”.

M: “Guarda che non è brutto. E poi ragionare in tre dimensioni non è facile, ed avere sotto mano un modello può essere di grande aiuto. Per esempio, avendolo tra le mani, si vede che può appoggiare su due spigoli”.

“Piuttosto, cos’è quell’altro modello?”

L: “Questo mi piace ancora di può. Potrebbe circondare i due cubi completandoli, nel senso che ne risulterebbe un solido convesso”.

M: “Bello!”

L: “Purtroppo non posso incastrarli se no piegherei la carta”.

M: “Qual è il volume del primo modello, quello dei due cubi?”

L: “E’ la prima cosa che ti ho detto, 15 cubetti”.

M: “Certo. Ho un’idea, invece, qual è il volume del secondo modello, il “collare”?”

L: “Più complicato, dovrei pensarci un po’”.

M: “Bene, aspetterò. Tra l’altro, questo collare mi ricorda qualcosa. Non abbiamo già in casa un solido bucato?”

L: “E’ il mazzocchio! E questi due modelli andranno presto a fargli compagnia”.

M: “Mi sembra giusto. Due nuovi condomini per acari. La libreria però non è il posto della roba diversamente utile”.

L: “Dai, non fare così. Guarda, ti lascio gli sviluppi piani, così puoi farli anche te i modelli”.

M: “Merci, ma tu non dimenticarti del volume”.

Primo modello: due cubi

Secondo modello: collare

Mazzocchiate


Due cubi di lato 2 si intersecano in modo che ciascuno abbia un vertice nel centro dell’altro. Qual è al minimo il volume da aggiungere per ottenere un solido convesso?

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6 commenti leave one →
  1. 10 giugno 2013 7:11 am

    Non ho capito come arrivi a 3×5 nella scomposizione di a^3-b^3.
    O forse devo reinterpretare il segno =.

    • 10 giugno 2013 6:14 pm

      Reinterpreta. Se intendo bene il pensiero di Marta, scrivi a^3 - b^3 come prodotto di due fattori, fai la stessa cosa con 15 e poi vedi se riesci ad assegnare un fattore all’altro, cosa che di fatto non è possibile.

      • 10 giugno 2013 7:17 pm

        OK, grazie. Dubbi (matematico-tipografici) se si possa usare il segno =.

  2. 10 giugno 2013 8:55 pm

    La confusione credo nasca dal fatto che i due segni = hanno due sfumature di significato diverse. Nel primo caso riscrivo la differenza di cubi in un altro modo, ma è la stessa identica cosa quindi siamo d’accordo che sia =. Nel secondo caso impongo l’uguaglianza di due cose, uguaglianza che incidentalmente non vale per nessuna scelta di parametri interi: dico che sono = e tento di risolvere. Nota che a priori non posso sapere che quell’= non è vero. Non conosco possibili notazioni alternative per catturare questa distinzione, e mi sembra di uso comune non farlo, ma sono d’accordo che non sia bellissimo.

  3. Gabriel permalink
    11 luglio 2013 2:33 pm

    Nota bene: lo sviluppo scritto da Marta non e’ corretto: quello scritto e’ lo sviluppo di (a^3+b^3)=(a+b)(a^2+b^2-ab). Mentre ovviamente (a-b)(a^2+b^2+ab)=(a^3-b^3) 🙂

    • 11 luglio 2013 6:50 pm

      Grazie, ho corretto. Errore mio di trascrizione, naturalmente, perché Marta non può sbagliare 🙂
      Il bello è che con juhan ci giravamo intorno…

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