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Matematica più alta

24 luglio 2013

Il meraviglioso mondo creato da Bill Watterson è animato da un monello di prima categoria, il seienne Calvin, che incarna la filosofia del carpe diem, del vivere la vita in modo pieno assaporandone ogni istante, del giocare il più sodo possibile per quanto permesso da genitori e scuola. La sua realtà è naturalmente “aumentata” da una fantasia vulcanica che lo proietta istantaneamente al comando di un razzo spaziale a caccia di mostri spaventosi o in fuga da dinosauri affamati. Compagno inseparabile di bricconate è il tigrotto Hobbes, pupazzo che diventa amico dialogante immaginario, dal carattere furbo e felino, complice e provocatore. Le strisce a fumetti di Calvin e Hobbes sono poetiche ed esilaranti. Un vero capolavoro.

In biblioteca ho preso “L’attacco dei mostri di neve mutanti”. E’ pomeriggio, e Calvin deve fare i compiti di aritmetica, ma 3+6 non è facilissimo perché sono numeri “alti”. Ci pensa Hobbes ad aiutarlo, usando opportune tecniche di matematica “più alta”. Il procedimento è stupendo! Visto che la soluzione, sia essa y, potrebbe essere un numero quadro, allora si parte disegnando un “quadrato” di lati 3 e 6 e si misura la diagonale. Il problema è che la diagonale, a Calvin che la misura, viene appena più piccola di 2, quindi Hobbes per rimediare ne deve disegnare una più grossa. Che coppia adorabile.

Disegniamo anche noi due segmenti lunghi 3 e 6 che si incontrano ad angolo retto e chiudiamo il triangolo. Purtroppo per Hobbes l’ipotenusa y non è la somma cercata, ma per coincidenza lo è l’area del triangolo, infatti \frac{3\cdot 6}{2} = 9 = 3 + 6. Ed è proprio una bella coincidenza, perché a parte 3 e 6 questo giochetto funziona solo per 4 e 4, dato che \frac{4\cdot 4}{2} = 8 = 4 + 4, e per 6 e 3, visto che per Calvin il calcolo di 3+6 e di 6+3 sono due bestie distinte.

Per parlare veramente di matematica alta, e Hobbes approverebbe entusiasta, si deve elevare il vertice tra i cateti e ragionare su un tetraedro. Nello specifico, quando la somma dei due cateti e dell’altezza corrisponde al volume del solido? Per fare un esempio, 2, 6 e 8 sono una soluzione, perché \frac{2\cdot 6\cdot 8}{6} = 16 = 2 + 6 + 8. Quante soluzioni esistono, limitandosi agli interi positivi?

Mi permetto una digressione sul calcolo del volume di un tetraedro. Faccio sempre fatica a ricordarmi la formula perché non mi sembra intuitiva, e devo sempre ricostruirmela in modo forse troppo complicato. Se l’altezza è h, il volume è dato dall’integrale tra 0 e h di una funzione che ridimensioni la base B. La base è un’area, quindi cresce quadraticamente a fronte di una crescita lineare delle dimensioni. In altre parole, f(x) = \frac{B}{h^2}x^2 è la funzione cercata, che vale 0 per x=0, cioè alla sommità del tetraedro, e B per x=h. Infine il volume è
V = \int_{x=0}^h \frac{B}{h^2}x^2 \mbox{d}x = \frac{B}{h^2}\frac{h^3}{3} = \frac{Bh}{3},
quale che sia la forma della base, quindi per tetraedri e per piramidi.

Questo risultato continuo a non “vederlo”. Per concretizzare, pensiamo ad un caso particolare molto semplice. Sia B una bella base quadrata di lato \ell, e poniamo anche h=\ell. Il volume è esattamente un terzo del volume di un cubo, V = \frac{\ell^3}{3}. E’ possibile tagliare un cubo in tre piramidi a base quadrata identiche? Era più bello se erano tetraedri, perché se tristi potevano essere “tre tetri tetraedri”.

Se prendiamo tre piramidi centrate, come quelle d’Egitto, sicuramente non potremmo riassemblarle per formare un cubo. E se invece l’altezza cadesse a perpendicolo su un vertice della base? Il punto cruciale è che a parità di base, che qui è il nostro quadrato \ell\times\ell, tutti le piramidi con vertice sul piano parallelo a quello della base hanno pari volume. Esattamente come hanno la stessa area tutti quei triangoli che condividono la base, e per i quali il vertice opposto è libero di scorrere sulla parallela alla base.

Si dà il caso che sia proprio così. Ogni copia di questa piramide ha una faccia quadrata intera e due mezze facce quadrate, quindi con tre copie completiamo la superficie del cubo. Le altre due facce della piramide combaciano internamente al cubo con quelle delle altre piramidi. Non che ciò dimostri nulla, ma è un appiglio in più per l’intuizione.

Può anche essere interessante costruire materialmente queste piramidi, ma qua tutto dipende dalla manualità del costruttore e dalle eventuali forze distruttrici presenti in casa. Lo sviluppo piano di uno di queste piramidi è percorribile senza sollevare la penna dal foglio e senza mai passare due volte sullo stesso tratto. Ed è costruibile con riga e compasso.


Scarica lo sviluppo piano in formato pdf cubo_piramidato_scarica

Matematica più alta


Per quante terne di interi positivi (a, b, c) vale \frac{abc}{6} = a+b+c?

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