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Una circonferenza all’angolo

5 agosto 2013

Sento ancora le tempie pulsare da ieri sera. Già non reggo bene l’acqua frizzante, che mi dà velocemente alla testa, ma l’aggiunta delle gocce di limone è stata fatale. Sono andato subito in acido citrico, e ora ho solo confusi ricordi di quanto successo.

E’ proprio vero quello che si dice quando piove, che rinfresca l’aria. Che dopo la tempesta viene il sereno, che dopo la mucca il treno, cronologicamente parlando. Cronometricamete è assai più raro, perché per quanto il treno possa essere lento, la mucca è in genere di indole non competitiva.

Certe volte penso che non si possa neanche mai tornare indietro, perché la vita è un non-senso unico.

Se i paragrafi introduttivi vi sembrano cose a caso, aspettate di vedere l’arbitrarietà del problema, o di qualsiasi altra cosa vi capiti qualora decidiate di interrompere la lettura per fare tutt’altro. Ecco che appare un triangolo rettangolo.

Spesso li guardiamo disegnati appoggiati su un cateto, in modo che l’altro cateto sia perfettamente verticale e l’angolo retto sia evidente. Questa volta è però importante appoggiarlo sull’ipotenusa.

Un cateto lo chiamiamo a, e il suo quadrato è la somma dei quadrati di due interi positivi. Il secondo e ultimo cateto non lo chiamiamo, ma sappiamo che è lungo 9a.

Prolunghiamo i cateti verso l’alto con due semirette in modo da poter accogliere un cerchio il cui raggio misura anch’esso 9a. Il cerchio scivola sul piano verso il basso e si ferma quando è ostacolato da queste due semirette, risultando a esse adiacente.

La distanza del centro del cerchio dal suolo, cioè dalla retta che contiene l’ipotenusa del triangolo, è il minimo intero possibile. Quale?

Una circonferenza all’angolo


In un triangolo rettangolo T i cateti sono a=\sqrt{u^2+v^2} e b=9a, con u, v interi positivi. Un cerchio di centro C e raggio r=b è tangente alle rette che contengono a e b ma non seca T. Qual è la minima distanza intera tra C e la retta contenente l’ipotenusa?

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2 commenti leave one →
  1. 5 agosto 2013 8:24 am

    Senza fare disegnini mi viene da dire che l’angolo formato tre le due semirette è retto, che il cerchio che tangente è tale che tracciano i raggi nei punti di tangenza otteniamo un quadrato. Quindi (se non ho deragliato alla grande) basta fare un po’ di calcoli. O sbaglio?

    • 5 agosto 2013 9:21 pm

      Tutto OK la storia che si ottiene un quadrato, anche se non so se sia poi così utile. Sicuramente OK anche la storia che basta fare un po’ di calcoli… 🙂

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