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Cubo senza un vertice

12 agosto 2013

L’estate in Casa Conlemele, perlomeno fino a che si ubica a Torino e non, poniamo per assurdo, a Londra o a Auckland, trasferisce numerosi i cubetti di ghiaccio dal freezer alla tavola. I simpatici amici freschi si fanno perdonare il piccolo inganno di non essere propriamente dei cubi, ma è lo stesso un nome grazioso, e poi tanto avrebbero lo stesso profumo se si chiamassero rose. Effimeri.

Immaginiamo un cubo in tutta la sua perfezione, e con altrettanta perfezione facciamo passare un piano che tagli via un vertice. Il piano passa per i tre degli otto vertici che sono sullo stesso spigolo di quello tagliato via. Dei due solidi formatisi, da una parte del piano c’è un cubo spuntato, dall’altra un tetraedro.

cubo_senza_vertice_scaricaScarica lo sviluppo

Per ragionare meglio su queste figure, le ho ricostruite con la carta. Entrambi gli sviluppi piani si possono disegnare con riga e compasso, ed entrambi gli sviluppi si possono disegnare senza mai staccare la matita dal foglio e senza passare due volte sullo stesso tratto. A parte queste distrazioni, il risultato è commisurato alle capacità manipolative del costruttore. Solo per precisare.

Costruire solidi di carta porta via molto tempo, oltre alle difficoltà di realizzazione, ma il risultato è tangibile. Senza nulla togliere alle cose intangibili, c’è però la soddisfazione di muovere, ogni tanto, atomi invece di bit. E’ più o meno a questo punto del discorso che Lorella mi suggerisce altri modi di muovere le mani, modi alternativi che comportano l’accettazione del mistero della polvere e la messa in atto delle azioni conseguenti per toglierla. Poi lavare le piastrelle, fare la spesa, … questa benedetta realtà, sempre di mezzo.

Quali sono le dimensioni del cubo spuntato? Lo si può calcolare per differenza, togliendo dal cubo, che pensiamo di lato unitario, il volume del tetraedro. Ciò si calcola facilmente, giacché \frac{1}{2} è l’area della base e 1 è l’altezza. Il volume del tetraedro è \frac{1}{6} e quindi \frac{5}{6} è quello del cubo senza un vertice.

In alternativa, possiamo unire 4 tetraedri per formare una piramide a base quadrata, di lato \sqrt{2} e altezza 1. Il volume è della piramide viene \frac{2}{3}, che è 4 volte quella del tetraedro, da cui ritroviamo \frac{1}{6}. Tra l’altro, una base del tetraedro è un triangolo equilatero di area \frac{\sqrt{3}}{2}, da cui si ricava che l’altezza relativa a quella base è \frac{1}{\sqrt{3}}. Questo però è un di più.

C’è ancora un’alternativa. Se poggiamo per la faccia triangolare equilatera il cubo spuntato C sul piano, possiamo accostarci tre copie del tetraedro T per ottenere un tetraedro di lato doppio di quello di partenza. E se il lato è doppio il volume è otto volte tanto, quindi C + 3T = 8T, e allora C = 5T. Stiamo dicendo sempre la stessa cosa. Facciamo qualcosa di diverso?

Il cubo senza un vertice si può approssimare con un insieme di cubetti. Prendiamo un cubo formato da n\times n\times n cubetti e togliamone un po’ in modo da lasciare quelli della diagonale per le tre facce tagliate. Risparmiamo tutti i cubetti che non oltrepassano il piano tangente ai cubetti di queste diagonali. L’approssimazione pixellosa, o voxellosa, è molto rozza all’inizio, ma migliora con l’aumentare del numero di cubetti per lato. Quanti cubetti formano il cubo spuntato se ce ne sono 11 per lato?

Cubo senza un vertice


Un cubo è suddiviso in 11^3 cubetti identici. Vengono mantenuti tutti i cubetti completamente nel semispazio contenente l’origine e delimitato dal piano che dall’origine sia più distante e che sia tangente ai tre cubetti in posizione (11, 0, 0), (0, 11, 0) e (0, 0, 11).

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