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Un piccolo quadrato

2 novembre 2013

Senza mai staccare la penna dal foglio e senza mai passare due volte sullo stesso segmento, Chiara disegna una figura come questa:

Il quadrato, che per esigenze sceniche è stato un po’ ruotato, ha lato lungo esattamente un anno luce, ed è qui riprodotto in scala 1:10^{17}.

Ogni lato del quadrato è diviso in n parti di pari lunghezza. Ecco cosa succede per n=10:

Chiara colora con i pennarelli i triangoli che hanno la base sui due lati a sinistra del quadrato.

Se sottraiamo mele con pere, dove per mele si deve intendere in questo caso l’area dei triangoli espressa in anni luce al quadrato e per pere il numero di questi triangoli, otteniamo un numero che è… un quadrato! In quante parti Chiara ha suddiviso ogni lato, sapendo che sono il minor numero possibile ma comunque più d’una?

Un piccolo quadrato


Partendo da un vertice, numerato con 0, di un quadrato di lato n si individuano 4n punti sul perimetro a intervalli regolari. La spezzata che unisce i punti 4n-1, 1, 4n-2, 2, \ldots determina con due lati consecutivi del quadrato, a partire dal vertice 0, b triangoli di area totale a. Qual è il minor n>1 per il quale a-b è un quadrato?

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