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Quanto più intelligenti?

9 gennaio 2014

Il Mensa è un’associazione internazionale nata con lo scopo di mettere in contatto persone che hanno una cosa in comune: un’intelligenza fuori dal comune.

Sia chiaro che il quoziente intellettivo, così come misurato dagli appositi test destinati ad autorizzare l’iscrizione all’associazione, fornisce un’indicazione solo su alcune delle molteplici sfaccettature dell’intelligenza umana. Per fare solo un esempio, intelligenza spaziale sì, intelligenza emotiva no.

Il quoziente di intelligenza è un carattere umano che, come spesso capita anche per i caratteri umani, si può pensare essere distribuito normalmente. In termini elementari, ciò significa che la maggior parte delle persone ha un’intelligenza media, mentre sono via via più rari i casi di eccezionale intelligenza o mancanza della stessa. Se sembra tutto tautologico, è proprio perché quella normale è una distribuzione naturale.

I quozienti della popolazione o di un campione possono essere standardizzati togliendo a ciascuno il quoziente medio e dividendo questa differenza per la deviazione standard. Dopo averli così processati, i quozienti avranno una distribuzione normale standard, con media 0 e varianza 1. La funzione che descrive questa distribuzione è la famosa
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}},
che sarà per affetto personale, ma è una bella funzione, con la e, il \pi, la radice quadrata… E il grafico è la celebre campana.

Questa funzione di densità continua si usa per calcolare la probabilità che un individuo abbia un’intelligenza compresa in un intervallo tra un valore minimo a e un valore massimo b, calcolando l’area sotto la curva a campana
\int_a^b f(x) dx.

Tornando al Mensa, scopriamo che l’associazione ammette solo il 2\% delle persone più intelligenti. Esiste dunque una soglia \tau di accettabilità tale per cui
\int_\tau^\infty f(x) dx = 0.02.
Per la distribuzione di cui stiamo parlando, altrimenti detta Gaussiana, \tau è di poco più grande di 2, ma il valore vero non importa.

Prendiamo adesso una persona a caso tra quelle che potrebbero iscriversi all’associazione, a prescindere dalla loro pigrizia, che è un altro carattere umano normalmente distribuito, a prescindere dall’interesse, dalla disponibilità economica, dai buoni propositi, dalla paura di non passare il test, la volpe e l’uva, dalla sfiducia nel test stesso, di cavoli e di re.

Prendiamo anche una persona a caso tra quelle che non passerebbero il test, o che l’hanno già fatto e non l’hanno passato.

La differenza tra le intelligenze di queste due persone, in media, è maggiore o minore di 51 volte f(\tau)?

Quanto più intelligenti?


Sia X\sim \mathcal{N}(0, 1) e indichiamo con f_X e F_X le funzioni di densità e di ripartizione. Se z = F_X^{-1}(0.98) e \Delta = \mathbb{E}[X \mid X > z] - \mathbb{E}[X \mid X \leq z], cosa è maggiore, \Delta o f_X(z)\cdot 51?

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