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5 = 6, una dimostrazione visuale

16 gennaio 2014

Un rettangolo è diviso in due da una diagonale, sulla quale indichiamo un punto.rett_uguali01

Usiamo il punto come vertice di due rettangoli allineati al rettangolo di partenza. Questi due rettangoli hanno la stessa area.

L’affermazione può essere più o meno intuitiva, a seconda dell’esperienza personale. Una dimostrazione abbastanza dettagliata potrebbe partire chiamando a e b le dimensioni del rettangolo, e (x, y) le coordinate del punto. In questo modo il rettangolo al di sotto della diagonale avrà dimensioni a-x e y, mentre quello di sopra avrà dimensioni x e b-y.

Nella parte bassa della figura, i due triangoli rettangoli che hanno il punto in comune sono simili. Il rapporto tra i cateti corrispondenti è lo stesso, vale a dire
\frac{x}{a-x} = \frac{y}{b-y},
da cui (a-x)y = x(b-y). I nostri due rettangoli hanno in effetti la stessa area.

Qualcuno propone una dimostrazione più intuitiva, che Euclide avrebbe apprezzato. La diagonale taglia il rettangolo dato in due parti di uguale area. Allo stesso modo i triangoli rettangoli di cui sopra sono presenti da entrambe le parti della diagonale. Ne scende che, per completare le due parti in cui è diviso il rettangolo, servono due figure di ugual area, quale è il caso dei nostri rettangoli.

Applicando ora il nostro risultato ad un caso concreto, ecco come corollario una dimostrazione visuale della verità matematica 5 = 6:

Due considerazioni per concludere. La prima è che la rappresentazione grafica è un utilissimo strumento per consolidare la comprensione e aiutare la memoria ma, come appena esemplificato, non conviene mai affidarsi ad una argomentazione visiva senza le necessarie fondamenta logiche, in particolare la verifica delle ipotesi. La seconda considerazione è inversa. Se affidandoci ad un disegno difettoso giungiamo ad una falsità, rischiamo di usarlo come falso controesempio per smentire un risultato generale vero. Peccato.

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