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Calcolo della superficie della sfera

27 gennaio 2014

“Come si calcola la superficie della sfera?”

“C’è anche la rima… com’era? La superficie della sfera qual è? Quattro terzi pi greco erre tre”.

Il supporto mnemonico ha un suo valore, da corredarsi però con il ragionamento. Come direbbe Aristotele, e lo direbbe certamente, forse via Twitter, è importante cercare un compromesso tra RAM e CPU.

Per capire che \frac{4}{3}\pi r^3 si tratta di un volume, basta osservare che se il raggio r della sfera è misurato in centimetri, allora r^3 è misurato in centimetri cubici, unità di misura, appunto, di volume. Per essere di aiuto, la differenza tra superficie e volume deve scorgersi con abbagliante chiarezza.

Ma la domanda “come” è ambigua, arbitraria nell’estensione e nella profondità. E’ vero che dato il raggio di una sfera r misurato in centimetri, il volume del solido è \frac{4}{3}\pi r^3 misurato in centimetri cubici. Come si esegue operativamente questo calcolo con una assegnata precisione comporta la conoscenza di un numero sufficiente di cifre decimali di \pi, della capacità di usare un calcolatore manuale o meccanico per eseguire un algoritmo di moltiplicazione, fidarsi del calcolatore, dell’algoritmo e dell’inserimento e lettura dei dati di input e output. Sempre che il livello di precisione richiesto sia coerente con il grado di approssimazione della realtà alla sfera ideale. Con tutti questi sospetti, forse la sola cosa che non abbiamo ancora messo in discussione è l’esattezza della formula stessa. A che pro, visto che ci interessa la superficie?

Superficie della sfera dato il volume

Vogliamo trovare una funzione s(r) che restituisca la superficie di una sfera di raggio r sapendo la formula V(r) del volume. La superficie è priva di spessore, però potremmo immaginare la sfera come costituita da un’infinità di superfici concentriche. In termini matematici, il volume della sfera è la somma delle superfici di tutte le sfere concentriche contenute in quella considerata:
\int_{z=0}^r s(z) dz = V(r) = \frac{4}{3} \pi r^3

Il volume è costituito da tutti i punti interni della sfera, ciascuno dei quali appartiene alla superficie di una sola delle sfere concentriche di raggio al più r.

Chiamiamo S(x) l’integrale indefinito di s(x), allora per il teorema fondamentale del calcolo integrale,
\int_{z=0}^r s(z) dz = S(r) - S(0)
solo che un punto non ha superficie, quindi s(0) = S(0) = 0, e allora S(r) = V(r) e l’integrale definito è solo funzione di r. Derivando da entrambi i lati abbiamo
S'(r) = s(r) = \frac{4}{3} \pi \cdot 3 r^2 = 4\pi r^2,
ed è così che siamo arrivati alla formula per la superficie della sfera.

Un’alternativa sfrutta la conoscenza della formula del cono. Immaginiamo per semplicità la sfera cava, e accendiamo al suo centro una lampadina. In ogni direzione si estende un cono di luce che illumina internamente la superficie della sfera.

I coni di luce hanno tutti altezza r e volume \frac{B \cdot r}{3}, dove B è la base. Ne possiamo considerare infiniti, di ampiezza infinitesima, puntati in tutte le direzioni. Al divergere del numero dei coni, la somma S delle loro basi infinitesime approssima la superficie della sfera e la somma dei loro volumi è pari al volume della stessa, supposto noto. Dunque
\frac{S \cdot r}{3} = \frac{4}{3} \pi r^3
da cui S = 4\pi r^2.

Superficie della sfera altrimenti

Le relazioni viste tra superficie e volume funzionano anche in senso inverso, per ricavare questo da quella. Invece un modo diretto per calcolare la superficie è di integrare su ogni possibile angolo \alpha di latitudine (tra 0 e \pi invece che tra 90 gradi nord e 90 gradi sud) la lunghezza del parallelo. Intuitivamente è come ricoprire la superficie di tanti elastici accostati l’uno all’altro.

Per la sfera unitaria, il parallelo “visto” dal centro sotto un angolo \alpha ha raggio \sin(\alpha), quindi in simboli
S = \int_{\alpha=0}^\pi \sin(\alpha) \cdot 2\pi d\alpha = 2 \pi \left[ - \cos(\alpha) \right] \left.\right|_{\alpha = 0}^\pi = 4\pi,
che conferma il risultato già trovato.

Ingrandendo il raggio unitario di un fattore r, questa superficie cresce di un fattore r^2 ed il gioco è fatto. Inserire invece r direttamente nell’integrale è più problematico perché nel risultato non compare r^2. D’altra parte forse dovremmo già ritenerci fortunati di aver trovato 4\pi.

Superficie della zona circolare

A parte questi dettagli, il procedimento di integrazione è sufficientemente potente per calcolare la sola parte della superficie di sfera compresa tra due piani distanti h, cosa che non potevamo permetterci con i primi due metodi visti.

Se a e b sono le distanze dal centro di due piani, dobbiamo per prima cosa calcolare gli estremi di integrazione usando le formule trigonometrice inverse. Facciamo dunque variare un angolo generico \alpha tra \arccos(b) e \arccos(a), mentre la formula da integrare è la stessa:
\int_{\alpha = \arccos(b)}^{\arccos(a)} \sin(\alpha) 2\pi d\alpha = -2\pi\left[ \cos(\arccos(a)) - \cos(\arccos(b))\right] =

2\pi(b-a) = 2\pi h.

Questo risultato è sorprendente per almeno due buone ragioni. Uno, la superficie della parte di sfera compresa tra due piani dipende unicamente dalla loro distanza e prescinde dalla loro posizione. Due, questa superficie corrisponde a quella della parte di cilindro che ha lo stesso diametro della sfera, ortogonale ai due piani e tra essi compreso. Per una sfera di raggio r questa superficie è 2\pi h r^2.

Il problema

L’abside dell’ultima chiesa visitata è un vano che ha tutto l’aspetto di essere la parte interna di un cilindro, e termina con una volta che è approssimativamente un quarto di sfera. Su questo spicchio grande un quarto di sfera è rappresentato un cielo con nuvolette, angioletti e così via.

Questa volta contiene un cerchio di dimensioni massime con una raffigurazione di Cristo Pantocratore. Questa volta il cerchio ha sfondo dorato.

Per dimensioni massime intendiamo che il tondo parte dalla base della volta, che è il punto di contatto tra cilindro e sfera, e finisce quando finisce la volta dell’abside e inizia il soffitto della navata centrale, cioè nel punto più alto della sfera. Qual è il rapporto tra la superficie della volta dorata e quella azzurra? Nel caso bidimensionale, di cerchio inscritto in un semicerchio, questo rapporto è 1.

Calcolo della superficie della sfera


Due piani ortogonali tagliano una sfera in quattro parti uguali. Qual è il rapporto tra la superficie del massimo cerchio disegnabile sul quarto di sfera rispetto alla superficie del quarto non occupata dal cerchio?

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