Skip to content

Fiocchi di neve senza fronzoli

8 febbraio 2014

Non so se avete presente i numeri: ce ne sono tantissimi! Oggi ve ne presento uno in particolare:

\frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}.

Questo numero, nei paraggi di 0.5, non sembra avere nulla di specciale se escludiamo l’innegabile eleganza.

E’ un numero irrazionale che si può calcolare velocemente con una macchina, e con una precisione a piacere. Già farlo a mano è un altro paio di guanti.

Dove l’ho incontrato? Ogni tanto accompagno Chiara a correre lungo il Po, e appesi fuori da un locale di via Ventimiglia, prima di arrivare al parco, vediamo dei fiocchi di neve giganti fatti di polistirolo. Lei va sempre a correre, io solo quando non piove, non fa troppo freddo, non c’è ghiaccio, nebbia, o al contrario in primavera/estate/autunno quando fa troppo caldo. Evito anche quando nevica, ma questi fiocchi non me li fanno passare. Sono troppo pigro anche per accampare scuse credibili.

Ed è proprio nei fiocchi che salta fuori questo numero. O meglio, in un adattamento con riga e compasso congegnato da Marta che dovrebbe riprodurre convincentemente queste sagome.

Si parte da un cerchio e si individuano sulla sua circonferenza 16 punti equispaziati. Due punti consecutivi sono uniti, tramite due segmenti paralleli, ai due punti diametralmente opposti. Lo stesso si fa con le altre tre doppie coppie di punti, in modo che i segmenti determinino quattro fasci che si intersecano a 45 gradi.

Un fiocco è delimitato dalla spezzata chiusa che passa per i 16 vertici e per le 16 intersezioni più esterne dei fasci. Se il raggio del cerchio è 1, il nostro numero compare in figura un bel po’ di volte! Quali segmenti hanno come lunghezza esattamente quel numero?

Vedere il numero è tutta un’altra cosa rispetto alla sola formulazione algebrica. Ma è così strano che in un cerchio saltino fuori radici di due innestate? Probabilmente no se si pensa, come ricorda saccentemente Marta, ad una formula di Viète che calcola due pigrechesimi come produttoria infinita proprio di radici di due innestate. Per la precisione:

\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2} \cdot \ldots

Qual è l’area di un fiocco di neve? L’agguerrita Marta afferma che, usando la formula di Viète arrestata ai primi tre termini come approssimazione di \frac{2}{\pi}, sia possibile determinare se l’area del fiocco è maggiore o minore del 75\% dell’area del cerchio, e mi somministra un dose stordente di trigonometria e algebra. Forse la prossima volta accompagno Chiara a correre.

Fiocchi di neve senza fronzoli


Siano i=0, \ldots, 15 dei punti equispaziati sulla circonferenza unitaria e si traccino i rettangoli formati dai punti k, k+1, k+8 e k+9 per k = 0, 2, 4, 6. Qual è l’area dell’unione dei 4 rettangoli? E’ maggiore o minore di \frac{3}{4}\pi?

Annunci

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: