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Pacchetti

23 febbraio 2014

La piazza davanti al municipio di Torino ospita qualche volta un’installazione artistica composta da innumerevoli pacchetti appesi a corde che attraversano la piazza da una parte all’altra. I pacchetti compaiono per Natale, e qualche volta anche in altri mesi dell’anno. Proprio in questi giorni li hanno tolti.

Pacchetti innumerevoli per modo di dire perché, come ha subito notato Marta che li vede ogni giorno andando al lavoro, sono ordinatamente disposti in 8 file e 8 colonne di blocchi di pacchetti disposti a rettangoli di 6 righe per 4 colonne. I blocchi sono costituiti da pacchetti di colore omogeneo, e si alternano a scacchiera blocchi di pacchetti blu e blocchi rossi.

Marta si affretta a piedi, un occhio all’orologio in cima al Palazzo Civico alle spalle della statua del Conte Verde, un occhio ai pacchetti, il sole alle sue spalle.

“In tutto ci sono 8\cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 = 4 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 6 pacchetti”, i suoi pensieri si muovono lentamente, intirizziti dal sonno. “Dunque, 4\cdot 8 = 2^2 \cdot 2^3 = 2^5 = 32“, parallelamente una parte del suo cervello mette in discussione i suoi stessi calcoli, e si sforza di seguire l’abituale percorso mattutino. “Poi si potrebbe fare 8\cdot 6 = (7+1)(7-1) = 7^2 - 1^2 = 48“. Calcola poi, sempre mentalmente, 32 \cdot 48 = 1536, visto che la tabellina del 48, per fortuna, non l’ha ancora dimenticata… E 1536 è molto meno che innumerevole.

I pacchetti sono piacevoli a vedersi. Sono cubi allineati, tutti grandi uguali. Di ciascuno, le facce laterali sono suddivise verticalmente in due: la metà di destra bianca, quella di sinistra blu o rossa. Non è però un problema geometrico quello che elabora Marta più tardi, in un’ora meno intellettualmente sfidante.

Immaginiamo di voler invertire la posizione dei colori. Una mossa valida consiste nel prendere due pacchetti vicini in orizzontale o verticale e di cambiarli di posto. Il campo di gioco è modale, quindi un cubetto della prima riga può scambiarsi di posto col corrispondente cubetto dell’ultima, così come possono scambiarsi di posto due cubetti di una medesima riga appartenenti alla prima e all’ultima colonna.

Quante mosse al minimo sono necessarie perché in ogni posizione originariamente occupata da un pacchetto blu ci sia un pacchetto rosso e viceversa?

Lascio la versione non modale come difficile problema aperto. Il caso di 2\cdot 2 blocchi ciascuno 2\cdot 2 presenta già qualche sorpresa.

Pacchetti


Ogni punto (a, b) con a tra 0 e 47 e b tra 0 e 31 è rosso se (-1)^{\lfloor\frac{a}{6}\rfloor + \lfloor\frac{b}{4}\rfloor} = 1, blu altrimenti. Una mossa consiste nell’invertire i colori di due punti (a, b) e (c, d) tali che a=c e |b-d| \in \lbrace 1, 31\rbrace o tali che b=d e |a-c| \in \lbrace 1, 47\rbrace. Quante mosse sono necessarie per invertire la colorazione iniziale dei punti?

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