Skip to content

Tutti i triangoli rettangoli sono isosceli

2 aprile 2014

\clubsuit Per fare colazione, Lorella attinge da una confezione sulla quale c’è scritto, tra le altre cose, “occhi”, “mento” e “ali”. Di che colore è il contenuto della scatola?

\clubsuit Sul calco di percuotere, participio passato di “ruocere”; sul calco di farlo, imperativo presente seconda singolare di “giarlo”; sul calco di perdere, terza singolare, presente indicativo di “verdere”. Quale stato dell’America meridionale ha questa bandiera?

\clubsuit Lo si moltiplica per più di \pi miliardi cambiando un ND in L. Cos’è?

\clubsuit – Non mi ricordo cosa diceva.

– Chi?

– Il teorema di Ceva.

– Cosa?

– No, Ceva è quello che l’ha dimostrato.

– Ah, e che cosa diceva?

– Chi?

In un triangolo qualsiasi tracciamo un segmento che unisce un vertice ad un punto qualsiasi del lato opposto. Qualsiasi segmento di questo tipo è detto ceviana. Ogni ceviana divide il lato sul quale termina in due parti, separate dalla sua estremità. Se tracciamo una ceviana per ogni vertice di un triangolo, il perimetro dello stesso risulta diviso in 6 tratti che possiamo chiamare in senso orario a, b, c, d, e, f.

Il teorema di Ceva afferma una cosa molto carina, e precisamente che le tre ceviane concorrono, cioè passano tutte per lo stesso punto, se e soltanto se il prodotto delle lunghezze dei tratti in posizione dispari, a\cdot c \cdot e, coincide con il prodotto delle lunghezze dei tratti in posizione pari, b\cdot d\cdot f. Comunemente viene scritto, in modo equivalente, che la condizione necessaria e sufficiente perché le ceviane concorrano è

\frac{a\cdot c \cdot e}{b\cdot d\cdot f} = 1.

C’è un tranquillo corollario al teorema che si ottiene applicandolo alle mediane di un triangolo, che sono ceviane anche loro. Visto che per definizione di mediana a=b, c=d e e=f, allora il rapporto è 1 e ne deduciamo che le mediane concorrono. Ciò dimostra l’esistenza del baricentro.

Meno nota è la dimostrazione dell’isoscelità di tutti i triangoli rettangoli. Consideriamo un triangolo rettangolo qualsiasi e siano x e y le proiezioni rispettivamente dei cateti b e a sull’ipotenusa.

Consideriamo il punto P vicino all’angolo retto, in modo tale che le ceviane passanti per P dividano i cateti in a-\varepsilon e \varepsilon da una parte e b-\varepsilon e \varepsilon dall’altra, con \varepsilon a piacere.

Del rapporto

\frac{x\cdot(a-\varepsilon)\cdot\varepsilon} {y\cdot\varepsilon\cdot(b-\varepsilon)}

sappiamo che tende a \frac{x}{y}\frac{a}{b} per \varepsilon \rightarrow 0, e siccome per \varepsilon \rightarrow 0 le ceviane diventano le altezze, che sappiamo concorrere nell’ortocentro, allora \frac{x}{y}\frac{a}{b} = 1.

Consideriamo ora il punto P prossimo alla proiezione dell’angolo retto sull’ipotenusa. Le ceviane che passano per P tagliano il triangolo ordinatamente in x, y, \varepsilon, a-\varepsilon, b-\varepsilon, \epsilon, e per Ceva

\frac{x\cdot\varepsilon\cdot(b-\varepsilon)} {y\cdot (a-\varepsilon)\cdot\varepsilon} = 1.

Quando \varepsilon \rightarrow 0, otteniamo questa volta che \frac{x}{y}\frac{b}{a} = 1.

Mettendo insieme i due risultati, \frac{x}{y}\frac{b}{a} = \frac{x}{y}\frac{a}{b} = 1, da cui a = b.

Come volevasi delirare.

Annunci
No comments yet

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: