Skip to content

Triboli cubici

13 aprile 2014

Potendo giocare con almeno due cubetti delle stesse dimensioni c’è un impulso naturale e irresistibile di affiancarli e allinearli. Sospetto che la legge di gravitazione universale dovrebbe tener conto della forma dei corpi, o forse siamo di fronte ad un quinta interazione fondamentale.

Con più cubetti si possono costruire policubi di tutti i tipi, come i tetradecacubi o i pezzi del cubo Soma. A fianco a questa ortodossia, c’è l’abominio di non fare combaciare i quadrati. Vediamo un esempio di questa classe di teratopolicubi che, in mancanza di un nome migliore chiamerò “triboli”.

Un tribolo si costruisce facilmente deformando una struttura pulita di quattro cubetti, due affiancati e sormontati da altri due. Per avere un tribolo è sufficiente ruotare di novanta gradi i due cubetti di sopra. Orrore! In un viaggio ideale per i quattro cubetti del tribolo, vediamo quattro problemi su questo spigoloso oggetto.

Primo cubo: tassellazione dello spazio

Semplice, semplice! Scommetti, scommetti! Data una borsa di triboli, dal contenuto infinito, è possibile riempire lo spazio senza lasciare buchi?

Secondo cubo: quadrato magico

Il tribolo ha 16 vertici. Distribuiamo i numeri da 1 a 16 uno per ogni vertice, in modo che la somma di alcuni gruppi di quattro numeri sia uguale ad una certa costante magica.

Nello specifico devono dare questa costante magica la somma dei numeri posizionati nei vertici di ogni faccia del dicubo di sopra e di ogni faccia del dicubo di sotto.

La costante magica è anche la somma dei quattro numeri sulle quattro coppie di spigoli verticali, accoppiate per vicinanza.

La somma costante è anche la somma dei quattro numeri sulle quattro coppie di spigoli orizzontali, accoppiate per vicinanza e per orientamento, appartenenti al piano che biseca il tribolo.

E lo stesso per le quattro coppie di spigoli orizzontali, accoppiate per vicinanza e per orientamento, appartenenti ai due piani che confinano il tribolo.

E gli spigoli appartenenti ad una stessa faccia orizzontale non contengono numeri consecutivi.

Ecco, se il vertice in alto è 1 e il vertice agli antipodi è 2, la soluzione è quasi univocamente definita. Mettiamola con le spalle al muro dicendo che tre vertici consecutivi di una faccia, visti dall’esterno in senso orario, presentano i numeri 16, 1 e 12.

Terzo cubo: di sfere inscritte e circoscritte

Concepiamo la più piccola sfera che contenga interamente un tribolo. Concepiamo la più grande sfera contenuta interamente dentro un tribolo. Qual è il rapporto tra il raggio della prima e il raggio della seconda sfera?

Quarto cubo: massima altezza

Appoggiamo un tribolo sul tavolo, nella posizione descritta, cioè costituito da due piani di due cubi l’uno. La sua altezza è due unità.

Appoggiamo il tribolo in posizione qualsiasi, purché in equilibrio. Qual è al massimo l’altezza raggiunta da almeno un punto dell’oggetto?

Poteva mancare lo sviluppo piano per la costruzione in carta del solido? Eccola, dalla piacevole sagoma floreale.

Triboli cubici


Intendiamo per tribolo il solido unione di 4 cubi di lato unitario, allineati agli assi e con centri traslati di \left(\pm\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2} \right) e \left(0, \pm\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right). Prob 1 I triboli tassellano lo spazio? Prob 2 Trovare una disposizione a griglia quadrata 4\times 4 dei numeri da 1 a 16 dove sia costante la somma dei quattro numeri in ogni riga, colonna, sottogriglia 2\times 2 modale con i numeri 1, 12, 16 e 2 in posizione (1, 1), (1, 2), (2, 1), (4, 3) e senza numeri consecutivi all’interno di una singola riga. Prob 3 Qual è il rapporto tra la minima sfera contenente e la massima sfera contenuta in un tribolo? Prob 4 Qual è l’altezza massima raggiunta da un tribolo di densità uniforme appoggiato in equilibrio su un piano?

Annunci
No comments yet

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: