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Triangolo al settimo cielo

17 maggio 2014

Genesi del triangolo

Su un foglio di carta sono tracciati tre segmenti. E’ possibile usare solo riga e compasso per disegnare un triangolo che abbia i lati lunghi come i tre segmenti assegnati?

Il problema potrebbe essere risolvibile solo “sulla carta”, vale a dire che, almeno teoricamente, è possibile accostare e richiudere i tre segmenti a formare un triangolo. Il problema potrebbe invece essere risolvibile proprio “sulla carta”, nel senso che con riga e compasso si può materialmente costruire il triangolo.

Chiamiamo a, b, c le lunghezze dei tre segmenti. Per essere lati di un triangolo non degenere deve soddisfarsi la disuguaglianza triangolare, che impone che ogni segmento debba essere più piccolo della somma degli altri due. Così deve valere che c < a + b, essendo c il percorso più breve che collega due punti, in questo caso due vertici di un triangolo, allora necessariamente deve essere inferiore al percorso a + b che transita prima per il terzo vertice. Per simmetria, deve anche essere b < a + c e a < b + c.

La richiesta è sensata, perché se tre segmenti fossero lunghi 2, 3, 10, non sarebbe certo possibile richiuderli a formare un triangolo.

Dati tre segmenti coerenti, disegnare il triangolo è una costruzione che non presenta difficoltà. Basta disegnare su un vertice del segmento c un cerchio di raggio a, e sull’altro vertice un cerchio di raggio b. Scegliendo una della due intersezioni come vertice opposto a c, possiamo completare il triangolo cercato.

Questa costruzione presuppone che sia possibile riportare la lunghezza di un segmento, in modo da poter disegnare un cerchio di raggio a centrato in un particolare punto. Questo tipo di costruzione è così basilare da essere fornita come primitiva in applicativi per il disegno geometrico, ma non dimentichiamoci che i puristi usano una riga non graduata. Non mi dedicherò ora all’esercizio di riportare un segmento senza riga graduata perché è tempo di ben altro.

Triangolo al settimo cielo

La forma di un triangolo è completamente determinata dalla lunghezza dei tre lati. Un’altra caratteristica di un triangolo è che non è possibile deformarlo nello spazio senza alterare la lunghezza dei lati. Ad esempio un quadrato non gode di queste proprietà: non solo è possibile, mantenendo inalterate le lunghezze dei lati, deformarlo nel piano e trasformarlo in un parallelogramma, ma è anche possibile piegarlo lungo una diagonale come si farebbe con un tovagliolo.

Possiamo però inventarci una trasformazione di un triangolo basata sulla particolare coincidenza che fa condividere il numero dei suoi lati con il numero di dimensioni dello spazio fisico in cui siamo immersi. Usiamo i tre lati a, b e c per misurare di quanto spostarci dall’origine lungo i tre assi, per individuare tre punti (a, 0, 0), (0, b, 0) e (0, 0, c) che è sempre possibile unire per formare un nuovo triangolo che dipende interamente da quello di partenza.

In termini poetici, si potrebbe pensare ad un triangolo mistico che vive nel paese di Flatlandia, e che raggiunge mediante questa trasformazione una sua proiezione astrale, che percepisce con l’occhio della mente, in base alla quale gli è possibile gabbare i suoi simili vendendo consulti con annesse e presunte manifestazioni medianiche. Triangoli poco raccomandabili.

Da una parte è sempre possibile proiettare un triangolo, perché i suoi lati determinano tre punti che è sempre possibile unire. Il viceversa non è sempre vero, giacché alcuni triangoli proiettati non possono discendere da alcun triangolo primitivo, proprio perché violano la disuguaglianza triangolare di cui sopra. Consideriamo ad esempio i punti (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 4), che formano un triangolo di lati \sqrt{5}, 2\sqrt{5} e \sqrt{17} anche se non è possibile avere un triangolo di lati 1, 2 e 4.

Il triangolo proiettato non è sempre dello stesso tipo di quello di partenza. E’, anzi, sempre acutangolo.

Però, però, il triangolo proiettato è pur sempre un triangolo, e quindi lo si potrebbe, proiettare a sua volta! E poi chi ci ferma più? Si può salire di proiezione in proiezione. Chissà cosa ne avrebbe pensato Dante?

Per ogni triangolo mi concentro sulla somma dei quadrati costruiti sui tre lati. Ho disegnato un triangolo e lo proietto una volta. Proietto quindi il triangolo ottenuto, e così via, fino a che la somma dei quadrati costruiti sui tre lati del triangolo ottenuto superi 1000 volte la somma per il triangolo di partenza. Quante proiezioni ho fatto?

Triangolo al settimo cielo


Una trasformazione consiste nel passare dal triangolo di lati a, b, c al triangolo di vertici in coordinate (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c). Quante volte si deve ripetere la trasformazione perché la somma dei quadrati costruiti sui lati del triangolo ottenuto superi (a^2+b^2+c^2)10^3?

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