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Tre punti su un piano

26 luglio 2014

Eleggiamo tre punti su un piano. Il piano è ridondante perché, nella più gran parte dei casi, per tre punti ne passa uno solo e quindi lo possiamo sottintendere. Il fatto è che ci risulta comodo avere un sistema di riferimento per poterci orizzontare, anche quando non ne abbiamo bisogno. D’altro canto è un equilibrio difficile quello tra rigore e leggerezza, tra pedanteria e pressapochismo. I tre punti non sono allineati né coincidenti, altrimenti di piani ne passano un’infinità o un’infinità al quadrato. I tre punti sono nello spazio a tre dimensioni, altrimenti il numero di piani che li contengono guadagna facilmente ordini di infinito. Lo spazio è euclideo, altrimenti apriti cielo. Mi sa che la partenza non è delle migliori. Rifo.

Ecco un triangolo generico, signore e signori! Triangoli come questi non se ne fanno mica più! Guardate le rifiniture, gente, guardate che vertici privi di parti, che segmenti dritti… Da oggi disponibile in versione light, con il 50% di area in meno rispetto ad un rettangolo tradizionale di pari base e altezza. La nostra incredibile offerta, solo alle prime 26072014 telefonate, incluso nel prezzo anche il cerchio inscritto, il cerchio circoscritto, e una batteria di oltre 5000 centri da portata. E non è tutto, solo per i prossimi 3 minuti e 14 secondi, alla metà del prezzo, riceverete a casa vostra anche lo stupefacente triangolo di Morley da incastonare nel vostro triangolo generico. Pensate, tre lati perfettamente identici! Con questa spesa ridicola avrete un oggetto resistente a tutto, indeformabile, lavabile a 180 gradi…

Bando alle frivolezze, vi presento un risultato davvero interessante. Per prima cosa, vi descrivo un’operazione che permette, dati tre punti, di individuarne un quarto. Applicheremo poi questa operazione ai vertici di un triangolo qualsiasi in modo da avere nuovi punti che, congiunti, formeranno un nuovo triangolo con una proprietà interessante.

Andiamo con ordine e definiamo una procedura iterativa che costruisce una spezzata infinita che converge in un punto. I primi due segmenti di questa spezzata uniscono nell’ordine tre punti dati, che chiamiamo P_1, P_2 e P_3. Il segmento successivo congiunge l’ultimo punto raggiunto, P_3, con il punto medio del penultimo segmento. Chiamiamo P_4 il punto medio tra P_1 e P_2 e aggiungiamo alla spezzata il segmento P_3P_4. Ripetiamo aggiungendo il segmento P_4P_5 dove P_5 è il punto medio tra P_2 e P_3 e così via.

Si può dimostrare che questa procedura converge ad un punto che dipende dai tre iniziali e dall’ordine con cui sono stati scelti. Più precisamente si può dimostrare che il punto di convergenza dipende solo da quale dei tre punti è stato scelto come punto iniziale, perché invertire il secondo con il terzo non cambia il risultato.

Detto questo, applicando la procedura ai vertici di un triangolo troviamo tre punti interni ad esso, che possiamo congiungere a formare un triangolo interno.

E adesso la domanda: qual è il rapporto tra l’area del triangolo interno e quella del triangolo di partenza? Qual è la forma del triangolo interno?

Suggerisco, al lettore particolarmente interessato, di provare ad analizzare il caso più generale applicando la stessa procedura a più poligoni, e magari invece del punto medio dividere il segmento precedente in un rapporto qualsiasi. Sono disposto a collaborazioni scientifiche, ricreative, divulgative in tal senso, nonché a ricevere notizie su interessanti sviluppi, o anche solo citazioni o lodi, o commenti positivi, o soldi, perché se la Bibbia ci ha insegnato qualcosa, e sappiamo bene che ci ha insegnato solo questa cosa (semicit), è che i soldi fanno la felicità. O forse era Siddharta?

Tre punti su un piano


Applichiamo fino a convergenza l’iterazione P_t = \frac{P_{t-1} + P_{t-2}}{2} ai punti (A, B, C), (B, C, A), (C, A, B), ottenendo tre punti P, Q, R. Qual è il rapporto \frac{\triangle PQR}{\triangle ABC}? Che forma ha il triangolo \triangle PQR?

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