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Tassi fissi e tassi variabili

18 agosto 2014

In un articolo di finanza si accenna al fatto che la volatilità fa diminuire il rendimento composto. Invece che dare la cosa per assodata, possiamo provare a tradurre l’affermazione in termini matematici e vedere quando e perché risulta vera. Limitiamoci all’ambito dell’operazione finanziaria di capitalizzazione e ad esempi piuttosto artificiali.

Per partire forse un po’ alla lontana, immaginiamo un negoziante che propone alla sua clientela una bicicletta. Il modello ha successo e le vendite crescono, e il negoziante decide di alzare il prezzo del 10\% per aumentare il margine di guadagno. La legge della domanda e dell’offerta è implacabile, e il calo di vendite che ne segue lo porta a scontare del 10\% il nuovo prezzo. La bici costa di più o di meno del prezzo originario?

In un negozio in Nuova Zelanda le cose sono soggette a forze opposte, e quindi ovviamente girano al contrario: un negoziante inizia ribassando del 10\% il prezzo della bici, per poi alzare in seguito il prezzo raggiunto del 10\%. In questo caso come si confronta il prezzo originario e il prezzo che prima è sceso e poi è salito?

Entrambe le domande, una volta formalizzate, hanno risposta immediata. Chiamiamo C il prezzo della bicicletta, e a la percentuale di aumento o sconto, in questo caso a = 10\%. Per aumentare il prezzo C della percentuale a basta moltiplicarlo per 1+a: il prezzo ritoccato al rialzo sarà C(1+a) = C + aC. Per scontare basta moltiplicare per 1-a, quindi il nuovo prezzo è C(1-a) = C - aC: paghiamo aC in meno del prezzo di partenza.

L’aumento porta il prezzo da C a C(1+a). Lo sconto porta il prezzo da C(1+a) a C(1+a)(1-a). Essendo moltiplicazioni l’ordine con cui si ritocca il prezzo è ininfluente.

La scelta di movimentare il prezzo al rialzo e al ribasso della stessa percentuale a permette il lusso dell’eleganza: grazie al prodotto notevole (1+a)(1-a)=1-a^2, si espone in piena luce il fatto che il prezzo movimentato è sempre inferiore al prezzo di partenza. A meno di non avere a=0: uno sconto onestamente un po’ esiguo, ma sono certo che quelli del marketing saprebbero comunque valorizzarlo.

Prendiamo ora il concetto di rendimento in una capitalizzazione. Immaginiamo di investire un capitale C in una operazione finanziaria non rischiosa per un anno, che renda una percentuale a_1 positiva al netto di commissioni e tasse. Mi sembra di essere John Lennon, ma in matematica tutto è possibile. Alla fine dell’anno abbiamo che il capitale C più gli interessi Ca_1 sono C(1+a_1). Siamo di fronte allo stesso meccanismo di alzare un prezzo o di scontarlo.

Visto che l’investimento è allettante, lo ripetiamo per n anni, durante ciascuno dei quali il rendimento è certo e costante ed espresso da percentuali positive. Queste percentuali cambiano però di anno in anno, e le indichiamo con a_1, \ldots, a_n. Il capitale finale, detto montante, è

M_v = C(1+a_1)\cdot\ldots\cdot(1+a_n) = C\prod_{i=1}^n(1+a_i).

L’aggettivo “composto” si riferisce al fatto che il rendimento di un anno non si calcola sempre sul capitale iniziale ma tiene conto degli interessi precedentemente maturati, che concorrono alla formazione di nuovo capitale. La v a pedice ci ricorda che gli a_i sono variabili.

Per volatilità intendiamo che le percentuali a_i non sono costanti ma “si disperdono”. Che cosa determina il montante di un’operazione? Chiaramente al primo posto c’è il valore delle percentuali a_i, cioè dove queste sono “localizzate”. Sicuramente preferirei investire avendo rendimenti tra il 9\% e l’11\%, piuttosto che tra l’1\% e il 3\%. Ma a parità di localizzazione, cioè se la media aritmetica degli a_i è data, allora il montante dipende da quanto gli a_i si avvicinano o si allontanano dalla media.

Riformuliamo l’affermazione iniziale dicendo che a parità di media aritmetica, un insieme di tassi di rendimento con maggiore dispersione produce un rendimento composto minore. Per vedere in che misura si riduce il rendimento occorrerebbe misurare la dispersione, e per farlo si potrebbe usare opportunamente la varianza degli a_i, ma in questa sede ci limiteremo a rilevare l’effetto senza quantificarlo. Vedremo quindi che basta scostarsi da una situazione in cui i tassi sono costanti per ridurre il montante.

E’ comune e utile definire nuove variabili dette fattori di montante. Un po’ perché vengono usate come fattori in una moltiplicazione, un po’ perché servono a produrre il montante. Chiamiamo questi fattori F_i = 1 + a_i, quindi ad esempio per un anno M = C\cdot F, e per più anni M_v = C\cdot \prod F_i.

Torniamo ora alla tesi. Sia \bar{a} il tasso di rendimento medio, ossia \bar{a} = \frac{a_1 + \ldots + a_n}{n}. Se l’investimento rendesse sempre \bar{a}, il montante finale si otterrebbe applicando il fattore di montante costante per n volte, quindi

M_c = C(1+\bar{a})^n = C\cdot \bar{F}^n.

Abbiamo usato il fatto che, per la prorietà di linearità della media aritmetica, 1 più la media degli a_i è uguale alla media delle variabili traslate F_i = a_i + 1. La c a pedice ci ricorda che il tasso di rendimento è costante.

Anche il montante a tassi variabili M_v può essere scritto in funzione di una media degli F_i. In particolare, è questa una importante applicazione della media geometrica \hat{F} = \sqrt[n]{\prod F_i}. Si ha

M_v = C\prod_{i=1}^n(1+a_i) = C \cdot \hat{F}^n.

La media geometrica indica effettivamente il rendimento medio di una operazione di questo tipo. Risponde alla domanda: in capitalizzazione composta con tassi variabili, qual è il fattore di montante annuale costante da applicare ogni anno che mi porti allo stesso montante complessivo?

Siamo giunti al risultato che cercavamo. Il montante con tassi variabili è inferiore a quello con tasso costante perché

\hat{F} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n F_i} \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n F_i = \bar{F}.

Questa è infatti la ben nota disuguaglianza tra le medie geometriche e aritmetiche. La si può dimostrare in molti modi tediosi e meno, ma noi ci limitiamo ad osservarla tranquillamente.

Per avere qualche intuizione in più sul problema possiamo analizzare però anche solo il caso n=2. Sfruttiamo il fatto all’apparenza banale ma sorprendentemente fruttifero che un quadrato è sempre non negativo. Tanto per dirne una abbiamo già adoperato questo fatto proprio qualche paragrafo più sopra per dire che 1-a^2 è sempre al più 1.

Adesso consideriamo un periodo di due anni e due fattori di montante. Il quadrato della loro differenza è (F_1 - F_2)^2 \geq 0. Cosa succede aggiungendo 4F_1F_2 da entrambe le parti? E’ il doppio del famoso doppio prodotto nel quadrato del binomio del membro a sinistra, e ciò è molto opportuno giacché

(F_1 - F_2)^2 + 4F_1F_2 = (F_1 + F_2)^2 \geq 4F_1F_2

è una nuova disuguaglianza sicuramente vera. Ora estraiamo la radice a entrambi i membri, trasformazione monotona crescente che non cambia il senso della disuguaglianza, e dividiamo per due:

\frac{F_1 + F_2}{2} \geq \sqrt{F_1F_2}.

Abbiamo ricavato la disuguaglianza aritmetico-geometrica nel caso più semplice.

La morale della storia, per chi piacciono queste cose, potrebbe essere che è sempre meglio tenere gli occhi aperti: anche senza necessariamente dimostrare un’asserzione è fondamentale capire quali sono i confini entro i quali la si può ritenere vera, quali sono le sue implicazioni o anche semplicemente come si comporta in qualche caso particolare. Manipolando un’informazione, non nel senso di alterarla ma nel senso di metterci mano per impastarla con altro materiale già in nostro possesso, le si dà concretezza.

Quale concretezza, se non abbiamo visto un numero ma solo a_i? Prendiamo dunque 10 rendimenti casuali distribuiti uniformemente tra l’8\% e il 12\%, quindi da capogiro. La loro media aritmetica sarà attorno al 10\% e calcoliamo la media aritmetica e la media geometrica dei fattori di montante. Molto simili, ma naturalmente la prima sarà maggiore della seconda. Calcoliamo il montante M_v con i tassi variabili, M_c quello usando il tasso costante pari alla media aritmetica, e M_g il montante usando come tasso costante la media geometrica dei tassi. Verifichiamo che M_v = M_g \leq M_c.

Dai numeri che ho estratto risulta che, con i tassi variabili, investendo 10000 euro per 10 anni, si arriva ad avere 26873.85 euro. I soldi sono più che raddoppiati! E ci mancherebbe altro, visto che stiamo parlando di 10 anni, quasi il tempo che passa tra un post e l’altro di Conlemele, e soprattutto del 10\% annuo.

Capitalizzare con la media geometrica porta, per definizione, allo stesso risultato, mentre avere un rendimento costante pari alla media aritmetica è meglio. Di quanto? Alla fine avremmo 26887.82. Caspita, sono quasi 14 euro in più. Ognuno poi potrà metterci dentro i propri dati e la propria funzione di utilità.

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