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Un gioco da poppanti

1 settembre 2015

La piccola Chiara ha 8 mesi (11, ma tanto è solo presente storico), e uno dei suoi giocattoli preferiti sono le scodelline colorate. Nella scatola c’erano 10 scodelline e una pallina, e sul contenitore era stampata la foto di un bambino seduto che impila ordinatamente gli oggetti dal più grande al più piccolo, per poi appoggiarci in cima la pallina come la ciliegina su una torta a 10 piani.

La realtà del Laboratorio Errante, dove Chiara passa le sue giornate, è ben diversa. Le ciotole sono sparse in ogni dove sul pavimento, tranne le poche sfortunate che sono cadute tra le grinfie del poppante in fase di dentizione, che le rosicchia sbavando.

La fattura degli oggetti non è improvvisata, tanto è vero che è facile incastrare la ciotola n sopra quella n+1. Immaginiamo di assegnare ad ogni coppetta una quantità. Se le coppette sono separate, si può anche immaginare che queste quantità siano crescenti, e ad esempio potremmo scrivere
a_1 < a_2 < \ldots < a_{10}.

Possiamo decidere che incastrare due ciotole significa prevedere l’eventualità che le relative quantità siano uguali, e quindi trasformare un segno < in un \leq.

Abbiamo dunque due problemi isomorfi: in quanti modi possiamo incastrare alcune ciotole di dimensioni consecutive? O in alternativa: in quanti modi possiamo mettere tra i numeri a_1, \ldots, a_{10} simboli di < oppure \leq?

La ciotola 1 può essere incastrata sulla ciotola 2 oppure no. Sono due casi completamente indipendenti da quello che succede tra le altre ciotole. La quantità a_2 può essere < oppure \leq di a_3, e anche qua ho due casi indipendenti.

Il numero totale dei modi è il prodotto di tutte queste possibilità, cioè 2\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2 = 2^9. Fin troppo facile.

Non vorrei lodare troppo questa colata di plastica, ma devo dire che piacciono molto anche a me, e non intendo da leccare. Le ciotole hanno la forma di mezza sfera, e non solo possono essere incastrate l’una dentro l’altra come suggerito prima, ma si può anche farne combaciare due consecutive per formare una specie di sfera dall’aspetto un po’ asimmetrico.

Si possono formare al massimo 5 sfere con le 10 ciotole. La numero 2 può essere usata per far coppia sia con la numero 1 che con la numero 3, ma non si possono fare entrambe gli incastri contemporaneamente. O meglio, in realtà si potrebbero anche formare due sfere una dentro l’altra e con una metà in comune, ma per questo problema lasciamo stare.

E non dimentichiamoci che con le dieci coppette è inclusa anche una pallina gialla, che è abbastanza piccola per entrare dentro qualsiasi coppia di coppette chiuse a sfera. Consideriamo allora tutte le combinazioni delle coppette che formano almeno una sfera che contenga la pallina gialla. Se le sfere sono più d’una contiamo come diverse le configurazioni a seconda di dove mettiamo la pallina.

Fatto? Quante sono in tutto le configurazioni possibili?

Un gioco da poppanti


Dai numeri da 1 a 10 inclusi sono scelte alcune coppie di numeri consecutivi. Le coppie sono almeno una ed esattamente una coppia è evidenziata. In quanti modi si può compiere l’operazione?

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