Skip to content

Intersezioni di cerchi, e poi di ipersfere

8 settembre 2015

Questo è il seguito di qualcosa iniziato molti mesi fa. A gennaio di quest’anno ho ricevuto da un lettore di questo blog, come dono inatteso, un problemino simpatico che ho pensato bene di generalizzare. Dopo un periodo passato a menare il can per l’aia, a guardare l’erba crescere e l’acqua evaporare, ecco che mi decido a riprenderlo in mano. Se continuo a non oliarli, certi ingranaggi continueranno a girare molto lentamente.

Per cominciare, ecco come si presentava il problema originario. Ho un quadrato di lato unitario. Ho un cerchio di raggio unitario centrato in un vertice, e un cerchio di raggio un mezzo centrato in uno dei segmenti non contenti il vertice. Si tratta di trovare le coordinate del punto di intersezione dei due cerchi.

Non ci sono trucchetti: il punto di intersezione richiesto è quello interno al quadrato, non quello coincidente con un suo vertice.

Il problema è piacevole da risolvere, sia perché si fanno i calcoli e si trova la soluzione, sia perché questa soluzione, cioè le coordinate del punto, è espressa da numeri “piacevoli”. Non che i numeri irrazionali siano “spiacevoli” o cose del genere, ma insomma uno può anche avere delle preferenze. E comunque no, la soluzione non la scrivo in chiaro, anche perché chi vuole può risolvere questo ed evitare l’orrore multidimensionale che segue.

La costruzione geometrica può essere interpretata in un altro modo, e qui serve un po’ di attenzione e di immaginazione. Siamo all’origine del sistema di riferimento. Ci spostiamo lungo l’asse delle x e disegniamo una circonferenza di raggio 1. Poi ci spostiamo lungo l’asse delle y e disegniamo una circonferenza di raggio \frac{1}{2}.

Con questa idea siamo pronti a generalizzare ad uno spazio euclideo ad n dimensioni. Partendo dall’origine, ci muoviamo lungo il primo asse e disegniamo una sfera di raggio 1 che dista 1 dall’origine. Muovendoci lungo il secondo asse di \frac{1}{2} dall’origine disegniamo una sfera di raggio \frac{1}{2}. Sul terzo asse, raggio e distanza sono \frac{1}{4} e così via. Ogni raggio è la metà del precedente ed è pari alla distanza del centro, di modo che tutte le sfere passano per l’origine. In simboli, l’i-esima ipersfera ha raggio 2^{i-1}.

In n dimensioni, le ipersfere si incontrano tutte in un altro punto con n coordinate positive. La somma di queste coordinate diminuisce con il crescere del numero delle dimensioni. Se questa somma scende al di sotto di uno su 171, quanto vale n?

Intersezioni di cerchi, e poi di ipersfere


Ci sono n ipersfere in \mathbb{R}^n, l’i-esima ha raggio r_i=2^{i-1} e centro sull’i-esimo asse, ad una distanza di +r_i dall’origine. La somma delle coordinate del punto di intersezione delle ipersfere nell’ortante positivo è inferiore a \frac{1}{171}. Quanto vale al minimo n?

Advertisements
2 commenti leave one →
  1. juhan permalink
    15 settembre 2015 11:20 am

    Non sono riuscito a risolverlo 😦
    Un aiutino…

    • 15 settembre 2015 10:43 pm

      Posso supporre che il caso 2D sia OK?

      Se sì, puoi trovare il risultato generale per via analitica. Non che i calcoli siano pochi, per carità. Già in 3D, che è il primo caso che ho risolto, abbiamo un sistema di tre equazioni con termini al quadrato. Ogni equazione, però, può essere scritta come somma di due addendi, uno lineare e uno che contiene la somma dei quadrati delle variabili. Quindi, la differenza tra due equazioni qualsiasi diventa una relazione lineare tra una coppia di variabili. Ho resto l’idea? E’ un aiuto? 🙂

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: