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Un quesito di maturità scientifica

15 settembre 2015

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E’ per questo che parliamo, a metà settembre, della prova di matematica della maturità scientifica. Yeah. Personalmente non mi è dispiaciuta, ma è anche vero che io non ho dovuto sostenere l’esame. Sono solo un onesto cittadino che paga le tasse e che si scarica i testi della matura e prova a vedere se è capace di risolvere i quesiti.

Tra le dieci domande ne segnalo per gradevolezza due, e ne risolvo una terza. Un primo quesito molto carino chiede di dimostrare la formula per il volume del tronco di cono. Credo che la strada ufficiale sia di interpretarlo come solido di rotazione e calcolare l’integrale, ma non è male dare per nota la formula del volume del cono e vedere il tronco come differenza di due coni con parametri opportuni. E i conti tornano con facili e appaganti calcoli.

Altra segnalazione è per il quesito che dichiara che un triangolo ha lati lunghi 6, 6 e 5, e chiede la probabilità che un punto casuale uniformemente scelto all’interno del triangolo disti più di 2 da uno dei tre vertici. Il triangolo risulta diviso in 4 aree, tre di queste sono “fette di torta” centrate nei vertici del triangolo e di raggio 2. Pensare di calcolare queste tre aree potrebbe impedire completamente la risoluzione del problema, fino a che non si arriva all’illuminazione: non ci servono le tre aree separatamente, ma l’area della torta completa, che guarda caso si trova molto facilmente. (“Torta”, “pie”, \pi, area del cerchio, … adesso tutto torna).

In questo post risolvo invece questo quesito: trova il minimo di

f(x) = (x-1)^2 + (x-2)^2 + \ldots + (x-5)^2.

Non so precisamente di quali strumenti dispone lo studente, una volta finita la quinta, ma per fortuna non riceverò nessun voto.

Approccio algebrico

La funzione ha una discreta simmetria, caratteristica da sfruttare al volo. Per rendere questa simmetria esplicita, definiamo una nuova variabile y=x-3, in modo da scrivere il polinomio equivalente

g(y) = (y-2)^2 + (y-1)^2 + y^2 + (y+1)^2 + (y+2)^2.

La trasformazione è una traslazione orizzontale che non cambia il valore del minimo.

Sviluppando i quadrati si elidono tutti i doppi prodotti, e quindi

g(y) = 5y^2 + 2(2^2+1) = 5y^2 + 10.

La funzione è sempre positiva, quindi il minimo si ha per y=0=x-3, cioè per \hat{x}=3, dove il cappello sopra la x indica che per quel valore la funzione è minima. E vale f(\hat{x}) = 10.

Ottimizzazione

Forse la strada che un bravo studente avrebbe dovuto seguire è quella dell’ottimizzazione, ponendo a zero la derivata prima:

f' = \sum 2(x-i) = 2\cdot 5\cdot x - 2 \sum i = 10x - 30 = 0.

I calcoli sono semplicissimi, e il risultato è lo stesso di prima.

Perturbazione

Confesso di essermi scervellato per trovare il minimo in modo alternativo. Dopo un po’ di tentativi andati a buca, ecco che ho completato il metodo che segue, che ad un’analisi più attenta risulta non essere altro che l’azzeramento della derivata prima ma con un approccio meno generale e un po’ rétro.

Consideriamo la generalizzazione della funzione:

f(x) = \sum_{i=1}^n (x-i)^2,

che ha minimo \hat{y} = f(\hat{x}) che ci riproponiamo di trovare.

Con semplici passaggi posso calcolare la funzione in corrispondenza della somma o della differenza di due valori:

f(a \pm b) = \sum (a \pm b - i)^2 = \sum(a-i)^2 + \sum b^2 \pm 2b\sum(a-i).

E qua il punto fondamentale è che la nostra funzione si comporta molto bene, perché nel primo addendo a destra ritroviamo f(a). Gli altri due addendi sono rispettivamente nb^2 e 2b\left(na - n\frac{n+1}{2}\right), quindi per riassumere

f(a\pm b) = f(a) + nb \left(b \pm \left( 2a - (n+1)\right)\right).

Armati di questo calcolo, possiamo pensare di calcolare la funzione un po’ a destra e un po’ a sinistra di \hat{x}, scrivendo

f(\hat{x} \pm \epsilon) = f(\hat{x}) + n \epsilon(\epsilon \pm (2\hat{x} - (n+1))) \geq f(\hat{x}),

dove per definizione di minimo, allo spostarci di un qualsiasi \epsilon \geq 0 da \hat{x} otteniamo un valore non inferiore a f(\hat{x}). Da questa disuguaglianza, e siccome anche n\epsilon è non negativo, deduciamo che la parte tra le parentesi più esterne deve essere non negativa:

\epsilon \pm (2\hat{x} - (n+1)) \geq 0,

il che, separando i due casi contenuti in \pm, ci porta a dire

\frac{n+1}{2} - \frac{\epsilon}{2} \leq \hat{x} \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{n+1}{2}.

Questo vale per ogni \epsilon quindi abbiamo rinchiuso \hat{x} in un intervallo piccolo a piacere. Per \epsilon = 0 troviamo

\hat{x} = \frac{n+1}{2},

che concorda con i calcoli precedenti per n=5 e che, a giudicare dalla simmetria della funzione, si poteva giudicare ovvio. In matematica, con gli “ovvio” ci riempono le fosse.

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