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Spirale romboidale

6 ottobre 2015

Nelle prime giornate fredde finita l’estate, non c’è niente di più piacevole che dedicarsi a qualche conticino di quelli facili facili che tornano anche senza pensarci troppo. E’ quello che si propone di fare Lorella tirando qualche segmento su un foglio di carta quadrettato.

Il punto di partenza ha coordinate (0, 1). E’ sicuramente un punto di partenza più fortunato di altri, per i quali si ci accontenta di accompagnare con un dito puntato un vago “questo”. E invece il punto di Lorella è proprio questo, proprio ad un centimetro di distanza verso l’alto dall’origine. Con un primo segmento la ragazza lo unisce al punto (1, 0), e poi successivamente congiunge anche i punti (0, -1) e (-1, 0). Tutti punti rispettabilissimi. Con tre segmenti c’è già quasi un rombo.

Il gioco però rischia di finire troppo presto, e dopo questo primo giro quasi completo la ragazza non ritorna al punto iniziale ma decide di congiungere in sequenza altri quattro punti: (0, 2), (2, 0), (0, -2), (-2, 0).

E perché fermarsi? Adesso è la volta di (0, 3), (3, 0), (0, -3) e (-3, 0), e così via.

Dopo un certo numero di giri, è il momento di aggiungere un po’ di colore. Tagliando idealmente la spirale con gli assi cartesiani forma quattro forme triangolari centrali e un bel numero di trapezi. Nel primo quadrante colora una zona sì e una no partendo dalla prima più vicina all’origine, nel secondo parte dalla seconda, nel terzo dalla prima e nel quarto dalla seconda.

L’area totale colorata è di 405 centimetri quadrati. Di quanti segmenti è composta la spirale?


Che emozione: Bash, Eukleides, convert, ed ecco la mia prima gif animata! Nel 2015! Se continua così ancora qualche anno e su Conlemele caricherò file VRML e livelli aggiuntivi di Doom.

spir

Spirale romboidale


Si tracciano n segmenti unendo ordinatamente i punti (0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0), (0, 2), \ldots e si colorano partendo dall’origine le zone dispari nei quadranti dispari e pari nei quadranti pari. Le zone colorate hanno area 405, quando vale n?

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