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Cerchi e quadrati

13 ottobre 2015

E a te cosa piacciono di più, i cerchi o i quadrati? A mia discolpa i cerchi già esistevano, quando sono nato. E poi l’unica cosa che ho imparato è che nella vita si scrive senza apostrofo.

Il cerchio iniziale ha un suo fascino. Di raggio unitario, possiamo anche già fare che centrarlo nell’origine. Anche il quadrato in cui è iscritto non è malaccio. Se non ci scandalizziamo troppo possiamo dire che ha raggio unitario anche lui, ma basta inclinare solo un po’ la testa, 45 gradi posson bastare, per giurare che forse il suo raggio è \sqrt{2}. Questione di punti di vista. Già che ci siamo il cerchio lo chiamiamo C_1, mentre al quadrato faremo riferimento con una perifrasi.

Concentriamoci su uno dei quattro vertici del quadrato. Fissiamo questo punto molto intensamente e sentiamoci sempre più rilassati. Usiamo questo punto come centro per tracciare un cerchio, C_2, tangente a C_1. Ripetiamo sugli altri tre vertici e abbiamo un totale di quattro nuovi cerchi, che però chiamiamo tutti C_2. Non sta in piedi? Facciamo allora che C_2 è l’insieme dei cerchi di secondo livello. Stiamo raggiungendo uno stato di rilassamento profondo completo. Per dare un tocco di qualità, anche i cerchi C_2 sono ingabbiati da quadrati.

Il cerchio C_1, come metafora del gigante su cui un cerchio C_2 sale in spalla per espandere la frontiera della conoscenza. E ogni cerchio C_2 è a sua volta un gigante per un cerchio C_3, costruito secondo le stesse regole: a esso tangente e centrato nel vertice esterno al centro e sulla bisettrice del quadrato nel quale il cerchio è inscritto. La cultura si approfondisce sempre di più, in un ambito sempre più ristretto. E la sfilza di esperti sempre più esperti e sempre più piccoli continua con i cerchi C_4, C_5, C_6 e andare.

Bene, e con tutto ciò? Torniamo al cerchio iniziale, al suo raggio 1, al quadrato, e al miraggio del suo raggio \sqrt{2}. Segniamo un confine, un cerchio centrato nell’origine e di raggio 1 + \sqrt{2}. Quanti cerchi C_1, C_2, C_3 possiamo disegnare prima di varcare questo confine?

Cerchi e quadrati


Un cerchio C_1 di raggio unitario è inscritto in un quadrato. Si disegna una sequenza di cerchi C_i dove i-esimo è tangente all’i-1-esimo ed è centrato nel vertice più lontano dall’origine del quadrato nel quale è inscritto il cerchio i-1-esimo. Qual è il primo i per cui il cerchio C_i interseca il cerchio concentrico a C_1 e di raggio 1+\sqrt{2}?

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