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Passo doppio binario

27 ottobre 2015

Ecco 10 scacchiere. L’ottava è, di tutte, quella più famigliare. Non che le altre abbiano forme strane o irregolari. Sempre quadrati divisi in quadrati. Il numero di quadrati per lato, però, varia tra 1 e 10. Vanno in scala come una serie di stampi per budini.

Non importa se c’è anche una “scacchiera” che ha solo una riga e una colonna, l’importante è partecipare.

Tanto poi alla fine ne useremo solo una, sulla quale la nostra unica pedina avrà un unico tipo di movimento, il passo doppio binario.

Il passo doppio binario è un movimento composito, che consiste nel percorrere una casella disegnando un binario, sostare sulla casella di riposo, percorrere una terza casella disegnando un secondo binario e arrestarsi nella quarta casella. Tutti gli eventuali binari già presenti sulla scacchiera devono essere percorsi così come sono stati tracciati e si aggiungono ai tre tempi del passo doppio binario.

La realtà è piena di cavilli. Eccoli:

(1) la pedina si suppone posizionata su una casella, e si sceglie una delle quattro direzioni su, giù, destra o sinistra.

(1a) alla pedina non è concesso tornare sui suoi passi, quindi se proviene da una certa casella non può fare dietro front. Potrà cambiare direzioni alle mosse successive, ma un movimento verso l’alto non può essere immediatamente annullato da un movimento verso il basso.

(1a) la pedina non può uscire dalla scacchiera, quindi se è su una casella periferica avrà possibilità di movimento ridotte.

(2) la pedina si sposta nella nuova casella adiacente alla prima.

(3) si ripetono i punti precedenti altre tre volte, in modo che la pedina avrà attraversato tre caselle, diciamo la A e la B e la C, per poi terminare la sua corsa nella D.

(4) sulle caselle A e C si costruiscono dei binari secondo il movimento della pedina.

(4a) una casella contenente un binario può essere attraversata solo percorrendolo.

(4b) attraversare una pedina contenente un binario non conta come parte del movimento.

Scegliamo una casella a caso tra le 385 delle 10 scacchiere di cui sopra e adagiamoci sopra la pedina. Qual è la probabilità di coprire interamente la scacchiera di binari?

Passo doppio binario


Si sceglie una casella a caso tra quelle di 10 scacchiere di lato 1, \ldots, 10. Da qui, si muove una pedina con mosse composite di 4 parti, ciascuna parte sposta senza inversioni di moto in una casella adiacente ortogonale. Il passaggio per caselle già attraversate in parti di mossa dispari non viene conteggiato e può essere fatto solo seguendo la direzione del primo passaggio. Qual è la probabilità che sia possibile attraversare in parti di mossa dispari tutte le caselle della scacchiera?

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