Domanda a scelta multipla

2 Maggio 2014

I quiz a scelta multipla sono ubiqui, dalla patente ai test per la determinazione del QI. Per chi deve correggere è una pacchia, senza considerare la possibilità non troppo fantascientifica di rilevamento automatico delle risposte su di una copia acquisita digitalmente.

Chi invece deve rispondere può trovare conforto da questo genere di esami, perché la molteplicità delle scelte delimitano un confine ridicolmente contenuto se comparato con la vasta disperazione di un foglio bianco. Per noi, il fatto stesso che un compito fosse “a crocette” implicava considerazioni non proprio positive sulla serietà dello stesso.

In questo tipo di domande, tanto per dirne una, è più facile tirare a indovinare. Con probabilità non trascurabile si può eguagliare come risultati una conoscenza legittima. Un’altra caratteristica è che le risposte date possono servire come guida, andando per esclusione o cercando di indovinare la psicologia di chi ha formulato i quesiti. Per non parlare poi degli aiuti da casa o del pubblico in sala.

Ecco un popolare esempio di domanda a scelta multipla.

Se tiri a indovinare la risposta a questa domanda, quante probabilità hai di scegliere quella corretta?

A) 25%

B) 50%

C) 60%

D) 25%

Si scopre con sorpresa che la domanda è paradossale non appena si legge la quarta possibilità. La premessa è di tirare a indovinare, ma le risposte sono in contraddizione tra loro: non esistendo una risposta giusta è certo di non trovarla, ed il problema diventa più filosofico che altro.

In genere queste domande sono proposte in serie, e bisogna risponderne a molte e in breve tempo. E’ allora possibilissimo non accorgersi neppure del paradosso se si processa la domanda troppo rapidamente. E’ del tutto plausibile, ad esempio, aspettarsi quattro possibilità se questo è lo standard dell’esame che si sta svolgendo, e poiché la probabilità di azzeccare casualmente è una su quattro si può crocettare la prima risposta e passare oltre, senza neppure accorgersi del paradosso generato dalla presenza di un’altra risposta identica alla prima.

Senza ulteriori specifiche, è sottinteso che per “tirare a indovinare” s’intende che la probabilità delle quattro risposte sia uniforme. Se le risposte non fossero equiprobabili forse si potrebbe trovare qualche variante della domanda senza contraddizioni. Proviamo?

Se distribuiamo le probabilità in modo arbitrario, possiamo ottenere con maggiore e minore frequenza una risposta piuttosto che un’altra. La risposta media potrebbe non essere presente tra quelle elencate, a meno di non scegliere una distribuzione opportuna.

Mettiamo che le probabilità di scegliere le quattro alternative siano tali che vi sia in effetti una risposta giusta, senza contraddizioni. Definiamo a tal proposito la distribuzione $D$ nel modo seguente: ad alternativa uguale corrisponda probabilità uguale; le probabilità sono ordinate dalla minore alla maggiore con l’aumentare della percentuale espressa nelle risposte; le diverse probabilità sono in progressione aritmetica. Modifichiamo allora la domanda.

Se tiri a indovinare la risposta a questa domanda con la distribuzione $D$ , quale media ottieni?

A) 25%

B) 50%

C) 60%

D) 25%

Con che probabilità otteniamo la risposta giusta? E qual è questa risposta?

Domanda a scelta multipla

La variabile aleatoria $X$ ha realizzazioni possibili $x_1 = \frac{1}{4}$ , $x_2 = \frac{1}{2}$ , $x_3 = \frac{3}{5}$ e $x_4 = \frac{1}{4}$ con probabilità $\mathbb{P}\left(\lbrace X = x_i \rbrace \right) = w_i$ per tutti gli $i$ . Per $i\neq j$ , se $x_i = x_j$ allora $w_i = w_j$ , se $x_i < x_j$ allora $w_i < w_j$ . Inoltre i valori diversi delle $w_i$ sono in progressione aritmetica. Qual è $w_{i^\star}$ , se $\mathbb{E}[X] = x_{i^\star}$ ?